а) Существует ли возрастающая геометрическая прогрессия, состоящая из трех трехзначных натуральных чисел a, b, c, где a < b < c, у которых множества цифр одинаковые?
б) Три натуральных числа a, b, c образуют арифметическую прогрессию. Число a двузначное, число b получается, если цифры числа a поменять местами, число c получается, если между цифрами числа a вставить ещё одну цифру. Найдите числа a, b, c и разность прогрессии d.
в) На счетчике расхода воды 1 января стояло трехзначное число. 1 февраля цифры поменялись местами — первая стала третьей, вторая первой, а третья второй. 1 марта цифры опять поменялись местами таким же образом — первая стала третьей, вторая первой, а третья второй. При этом расход воды в январе и феврале был одинаковым. Найдите ежемесячный расход воды и показания счетчика с 1 января по 1 марта.
а) Да, существует, например, 243, 324, 432.
б) Ясно, что разность прогрессии 
и потому 
значит, c — трехзначное число (в нем на одну цифру больше, чем в a) с первой цифрой 1. Тогда a тоже начинается с 1. Пусть 
тогда 
При этом 
кратно 10, поскольку a и c заканчиваются на одинаковую цифру. Значит, 
кратно 5, откуда 
(тогда 
что невозможно), либо 
тогда 
Эти числа подходят, 
в) Пусть цифры числа были x, y, z, тогда в январе показания были 
в феврале 
в марте 
По условию
Значит, 
кратно 4 и не превосходит 9. Если 
то 
и 
что невозможно для цифр. Поэтому 
тогда 
Значит, либо 
и 
либо 
и 
В обоих случаях расход воды равен 
Ответ: а) да; б) 
в) 148, 481, 814 или 259, 592, 925, расход воды 333.