Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 19 № 514525
i

По­сле­до­ва­тель­ность a_1, a_2, \ldots, a_n левая круг­лая скоб­ка n боль­ше или равно 3 пра­вая круг­лая скоб­ка со­сто­ит из на­ту­раль­ных чисел, причём каж­дый член по­сле­до­ва­тель­но­сти, кроме пер­во­го и по­след­не­го, боль­ше сред­не­го ариф­ме­ти­че­ско­го со­сед­них сто­я­щих рядом с ним чле­нов.

а)  При­ве­ди­те при­мер такой по­сле­до­ва­тель­но­сти, со­сто­я­щей из четырёх чле­нов, сумма ко­то­рых равна 50.

б)  Может ли такая по­сле­до­ва­тель­ность со­сто­ять из шести чле­нов и со­дер­жать два оди­на­ко­вых числа?

в)  Какое наи­мень­шее зна­че­ние может при­ни­мать сумма чле­нов такой по­сле­до­ва­тель­но­сти при n  =  10?

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  На­при­мер, по­сле­до­ва­тель­ность 1, 12, 17, 20.

б)  На­при­мер, по­сле­до­ва­тель­ность 1, 12, 20, 20, 12, 1.

в)  Для 2 мень­ше или равно k мень­ше или равно 9 вы­пол­не­но не­ра­вен­ство

дробь: чис­ли­тель: a_k минус 1 плюс a_k плюс 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше a_k рав­но­силь­но a_k минус 1 плюс a_k плюс 1 мень­ше 2a_k рав­но­силь­но a_k плюс 1 минус a_k мень­ше a_k минус a_k минус 1,

то есть по­сле­до­ва­тель­ность раз­но­стей со­сед­них чле­нов по­сле­до­ва­тель­но­сти убы­ва­ет  — это не­об­хо­ди­мое и до­ста­точ­ное усло­вие. Пусть d_k = a_k плюс 1 минус a_k, тогда, как по­ка­за­но выше,

d_k мень­ше или равно d_k минус 1 минус 1 мень­ше или равно d_k минус 2 минус 2 мень­ше или равно \ldots мень­ше или равно d_1 минус k плюс 1,

а зна­чит,

a_1 = a_k минус d_k минус 1 минус \ldots минус d_1 мень­ше или равно a_k минус левая круг­лая скоб­ка d_k плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка минус \ldots минус левая круг­лая скоб­ка d_k плюс k минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка = a_k минус левая круг­лая скоб­ка k минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка d_k минус дробь: чис­ли­тель: k левая круг­лая скоб­ка k минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ,

a_10 = a_k плюс d_k плюс \ldots плюс d_9 мень­ше или равно a_k плюс d_k плюс левая круг­лая скоб­ка d_k минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс \ldots плюс левая круг­лая скоб­ка d_k минус 9 плюс k пра­вая круг­лая скоб­ка = a_k плюс левая круг­лая скоб­ка 10 минус k пра­вая круг­лая скоб­ка d_k минус дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка 9 минус k пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 10 минус k пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

За­ме­тим, что a_1 боль­ше или равно 1 и a_10 боль­ше или равно 1, от­ку­да

a_k минус левая круг­лая скоб­ка k минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка d_k минус дробь: чис­ли­тель: k левая круг­лая скоб­ка k минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби боль­ше или равно 1,

a_k плюс левая круг­лая скоб­ка 10 минус k пра­вая круг­лая скоб­ка d_k минус дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка 9 минус k пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 10 минус k пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби боль­ше или равно 1.

Умно­жив пер­вое не­ра­вен­ство на 10 минус k, а вто­рое на k минус 1 и сло­жив их, по­лу­ча­ем:

9a_k минус дробь: чис­ли­тель: 9 левая круг­лая скоб­ка k минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 10 минус k пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби боль­ше или равно 9 рав­но­силь­но a_k боль­ше или равно дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка k минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 10 минус k пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 1.

Таким об­ра­зом,

a_1 боль­ше или равно 1,

a_2 боль­ше или равно 5,

a_3 боль­ше или равно 8,

a_4 боль­ше или равно 10,

a_5 боль­ше или равно 11,

a_6 боль­ше или равно 11,

a_7 боль­ше или равно 10,

a_8 боль­ше или равно 8,

a_9 боль­ше или равно 5,

a_10 боль­ше или равно 1,

а их сумма не мень­ше 70. По­сле­до­ва­тель­ность 1, 5, 8, 10, 11, 11, 10, 8, 5, 1 удо­вле­тво­ря­ет усло­вию за­да­чи, а сумма её чле­нов равна 70.

 

Ответ: а)  да; б)  да; в)  70.

 

При­ме­ча­ние.

Ре­ше­ние ана­ло­гич­ной за­да­чи 562820 за­пи­са­но нами в более кон­крет­ном (и менее общем) виде.

Ре­ко­мен­ду­ем срав­нить эту за­да­чу с за­да­ни­ем 562763, раз­ра­бо­тан­ным для до­сроч­ной волны ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке 2021 года (сам эк­за­мен не про­во­дил­ся из-за ви­рус­ной пан­де­мии).

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Верно по­лу­че­ны все пе­ре­чис­лен­ные (см. кри­те­рий на 1 балл) ре­зуль­та­ты.4
Верно по­лу­че­ны три из пе­ре­чис­лен­ных (см. кри­те­рий на 1 балл) ре­зуль­та­тов.3
Верно по­лу­че­ны два из пе­ре­чис­лен­ных (см. кри­те­рий на 1 балл) ре­зуль­та­тов.2
Верно по­лу­чен один из сле­ду­ю­щий ре­зуль­та­тов:

— при­мер в п. а;

— обос­но­ван­ное ре­ше­ние п. б;

— в п. в при­ведён при­мер по­сле­до­ва­теоь­но­сти, сумма чле­нов ко­то­рой равна 70;

— в п. в обос­но­ван­но, что не су­ще­ству­ет по­сле­до­ва­тель­но­сти, сумма чле­нов ко­то­рой мень­ше 70

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Мак­си­маль­ный балл4

Аналоги к заданию № 514525: 562820 Все

Источники:
Классификатор алгебры: По­сле­до­ва­тель­но­сти и про­грес­сии
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025