а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Дана че­ты­рех­уголь­ная пи­ра­ми­да SABCD с пря­мо­уголь­ни­ком ABCD в ос­но­ва­нии, AB  =  6 и Вы­со­та пи­ра­ми­ды про­еци­ру­ет­ся в точку пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей ос­но­ва­ния. Из вер­шин А и C на ребро SB опу­ще­ны пер­пен­ди­ку­ля­ры AP и CQ.

а)  До­ка­жи­те, что точка P яв­ля­ет­ся се­ре­ди­ной от­рез­ка BQ.

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стя­ми SBA и SBC, если ребро SD  =  12.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

15 де­каб­ря пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на сумму 900 тысяч руб­лей на 21 месяц. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

—  1-⁠го числа каж­до­го ме­ся­ца долг воз­рас­та­ет на 3% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

—  со 2-⁠го по 14-⁠е число каж­до­го ме­ся­ца не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

—  15-⁠го числа каж­до­го ме­ся­ца с 1-⁠го по 20-⁠й долг дол­жен быть на одну и ту же сумму мень­ше долга на 15-⁠е число преды­ду­ще­го ме­ся­ца.

  — к 15-му числу 21-⁠го ме­ся­ца кре­дит дол­жен быть пол­но­стью по­га­шен.

Какой долг (в тыс. руб.) будет 15 числа 20-⁠го ме­ся­ца, если общая сумма вы­плат после пол­но­го по­га­ше­ния кре­ди­та со­ста­вит 1215 тыс. руб.?

Че­ты­рех­уголь­ник ABCD с пер­пен­ди­ку­ляр­ны­ми диа­го­на­ля­ми AC и BD впи­сан в окруж­ность.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая, про­хо­дя­щая через точку пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей че­ты­рех­уголь­ни­ка пер­пен­ди­ку­ляр­но сто­ро­не BC, делит по­по­лам сто­ро­ну AD.

б)  Най­ди­те сто­ро­ны че­ты­рех­уголь­ни­ка ABCD, если из­вест­но, что AC  =  84 и BD  =  77, а диа­метр окруж­но­сти равен 85.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет боль­ше по­ло­жи­тель­ных кор­ней, чем от­ри­ца­тель­ных.

Каж­дое из чисел a₁, a₂, …, a₃₅₀ равно 1, 2, 3 или 4. Обо­зна­чим

Из­вест­но, что S₁  =  513.

а)  Най­ди­те S₄, если еще из­вест­но, что S₂  =  1097 и S₃  =  3243.

б)  Может ли S₄  =  4547?

в)  Пусть S₄  =  4745. Най­ди­те все зна­че­ния, ко­то­рые может при­ни­мать S₂.