а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пра­виль­ном тет­ра­эд­ре ABCD рас­по­ло­жен конус, вер­ши­на ко­то­ро­го яв­ля­ет­ся се­ре­ди­ной ребра CD. Ос­но­ва­ние ко­ну­са впи­са­но в се­че­ние тет­ра­эд­ра, про­хо­дя­щее через се­ре­ди­ну ребра BС па­рал­лель­но пря­мым CD и AB.

а)  До­ка­жи­те, что ука­зан­ное се­че­ние тет­ра­эд­ра яв­ля­ет­ся квад­ра­том.

б)  Вы­чис­ли­те объём дан­но­го ко­ну­са, если ребро тет­ра­эд­ра равно 12.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

15 де­каб­ря 2026 года пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит раз­ме­ром А мил­ли­о­нов руб­лей на срок 36 ме­ся­цев. Усло­вия воз­вра­та кре­ди­та та­ко­вы:

—  1 числа каж­до­го ме­ся­ца сумма долга воз­рас­та­ет на 2% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

—  со 2-го по 14-е число каж­до­го ме­ся­ца не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить одним пла­те­жом часть долга;

—  15-го числа каж­до­го ме­ся­ца долг дол­жен быть на одну и ту же ве­ли­чи­ну мень­ше долга на 15-е число преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

—  к 15 де­каб­ря 2029 года долг дол­жен быть пол­но­стью по­га­шен.

Чему равно A, если общая сумма пла­те­жей в 2027 году со­ста­вит 4830 тысяч руб­лей?

В вы­пук­лом че­ты­рех­уголь­ни­ке ABCD точки P и Q  — се­ре­ди­ны сто­рон AB и CD со­от­вет­ствен­но, точки E и F  — се­ре­ди­ны AC и BD со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что от­ре­зок PQ делит точ­кой пе­ре­се­че­ния от­ре­зок EF по­по­лам.

б)  Най­ди­те EF, если BC  =  12, AD  =  14, а PQ  =  8.

Най­ди­те все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма

имеет един­ствен­ное ре­ше­ние.

По­сле­до­ва­тель­ность со­сто­ит из 13 раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел. Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское пер­вых вось­ми и сред­нее ариф­ме­ти­че­ское по­след­них вось­ми ее чле­нов равно 17.

а)  Может ли сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех чисел рав­нять­ся 17?

б)  Может ли сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех чисел рав­нять­ся 11?

в)  Най­ди­те наи­боль­шее и наи­мень­шее зна­че­ния, ко­то­рые может при­ни­мать сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех чисел.