На доске написано n единиц, между некоторыми из которых поставили знаки + и посчитали сумму. Например, если изначально было написано n = 12 единиц, то могла получиться, например, такая сумма:
1 + 11 + 11 + 111 + 11 + 1 + 1 = 147.
а) Могла ли сумма равняться 150, если n = 60?
б) Могла ли сумма равняться 150, если n = 80?
в) Чему могло равняться n, если полученная сумма чисел равна 150?
а) Да, например, 10 раз по 11 и 40 раз по 1.
б) Нет. Заметим, что число дает тот же остаток от деления на 3, что и его сумма цифр. Поэтому сумма всех этих чисел будет давать остаток от деления на 3 такой же, как и просто сумма восьмидесяти единиц, то есть 2, а 150 кратно трем. Противоречие.
в) Ясно, что использовать слагаемые большие чем 111 нельзя, а само число 111 можно, но только один раз. Если оно использовано, то нужно набрать ещё 39, это делается использованием числа 11 от 0 до 3 раз и, соответственно, требует 42, 33, 24, 15 единиц.
Если число не использовано, то можно использовать 11 от 0 до 13 раз. Каждое новое использование 11 вместо двух единиц увеличивает сумму на 9, поэтому должно сопровождаться выкидыванием девяти единиц. Следовательно, можно взять также 150, 141, ..., 33 единицы. Общий ответ: числа 150, 141, ..., 15 (прогрессия с разностью 9).
Ответ: а) да; б) нет; в) 150, 141, 132, 123, 114, 105, 96, 87, 78, 69, 60, 51, 42, 33, 24, 15.
Приведу алгебраическое решение задачи.
а) Запишем условие пункта а) в виде уравнения: 111x + 11y + z = 150. Заметим, что x <= 1, потому что при x = 2 число больше, чем 150. Также заметим, что при x = 1 у нас остается 150 - 111 = 39 единиц для достижения числа 150, что крайне мало для n = 60. Следовательно, сумма состоит из чисел "11" и "1", причем 11y + z = 150 и n = 2*y + z. Легко подобрать пару решений (y;z) это (10; 40).
в) Имеем: 111x + 11y + z = 150, где x <= 1 (см. а)). Рассмотрим два варианта.
При x = 0 получаем 11y + z = 150, где y <= 13 и n = 2 * y + z. Составим таблицу:
y | z | n |
13 7 33
12 18 42
11 29 51
10 40 60
9 51 69
8 62 78
7 73 87
6 84 96
5 95 105
4 106 114
3 117 123
2 128 132
1 139 141
0 150 150
При x = 1 получаем 111 + 11y + z = 150, где 11y + z = 39 и n = 2*y + z + 3. Ясно, что y <= 3. Составим таблицу:
y | z | n |
3 6 15
2 17 24
1 28 33
0 39 42
Найденные n: 15, 24, 33, 42, 51, 60, 69, 78, 87, 96, 105, 114, 123, 132, 141, 150.
Так можно, но у нас проще.