В пачке 250 ли­стов бу­ма­ги фор­ма­та А4. За не­де­лю в офисе рас­хо­ду­ет­ся 700 ли­стов. Ка­ко­го наи­мень­ше­го ко­ли­че­ства пачек бу­ма­ги хва­тит на 8 не­дель?

На гра­фи­ке по­ка­зан про­цесс разо­гре­ва дви­га­те­ля лег­ко­во­го ав­то­мо­би­ля. На оси абс­цисс от­кла­ды­ва­ет­ся время в ми­ну­тах, про­шед­шее с мо­мен­та за­пус­ка дви­га­те­ля, на оси ор­ди­нат  — тем­пе­ра­ту­ра дви­га­те­ля в гра­ду­сах Цель­сия. Опре­де­ли­те по гра­фи­ку, сколь­ко минут дви­га­тель на­гре­вал­ся от тем­пе­ра­ту­ры 40 °C до тем­пе­ра­ту­ры 60 °C.

Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квад­рат­ных сан­ти­мет­рах.

В груп­пе ту­ри­стов 8 че­ло­век. С по­мо­щью жре­бия они вы­би­ра­ют двух че­ло­век, ко­то­рые долж­ны идти в село за про­дук­та­ми. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что ту­рист Б., вхо­дя­щий в со­став груп­пы, пойдёт в ма­га­зин?

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния

Два угла впи­сан­но­го в окруж­ность че­ты­рех­уголь­ни­ка равны 82° и 58°. Най­ди­те боль­ший из остав­ших­ся углов. Ответ дайте в гра­ду­сах.

На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции и от­ме­че­ны точки −2, −1, 1, 4. В какой из этих точек зна­че­ние про­из­вод­ной наи­мень­шее? В от­ве­те ука­жи­те эту точку.

Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка, вер­ши­на­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся точки A, B, C, пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да у ко­то­ро­го

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

Ав­то­мо­биль раз­го­ня­ет­ся на пря­мо­ли­ней­ном участ­ке шоссе с по­сто­ян­ным уско­ре­ни­ем a км/ч ². Ско­рость вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле где l  — прой­ден­ный ав­то­мо­би­лем путь. Най­ди­те уско­ре­ние, с ко­то­рым дол­жен дви­гать­ся ав­то­мо­биль, чтобы, про­ехав 0,5 ки­ло­мет­ра, при­об­ре­сти ско­рость 80 км/ч. Ответ вы­ра­зи­те в км/ч².

Теп­ло­ход про­хо­дит по те­че­нию реки до пунк­та на­зна­че­ния 200 км и после сто­ян­ки воз­вра­ща­ет­ся в пункт от­прав­ле­ния. Най­ди­те ско­рость те­че­ния, если ско­рость теп­ло­хо­да в не­по­движ­ной воде равна 15 км/⁠ч, сто­ян­ка длит­ся 10 часов, а в пункт от­прав­ле­ния теп­ло­ход воз­вра­ща­ет­ся через 40 часов после от­плы­тия из него. Ответ дайте в км/ч.

Най­ди­те точку ми­ни­му­ма функ­ции

а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной пи­ра­ми­де SABCDEF бо­ко­вое ребро SA  =  14, а сто­ро­на AB  =  8. Точка М се­ре­ди­на сто­ро­ны AB Плос­кость α про­хо­дит через точки M и D и пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ABC. Пря­мая SC пе­ре­се­ка­ет плос­кость α в точке K.

a) До­ка­жи­те, что MK  =  KD.

б) Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды MCDK.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

Две окруж­но­сти ка­са­ют­ся внут­рен­ним об­ра­зом в точке С. Вер­ши­ны A и B рав­но­бед­рен­но­го пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC c пря­мым углом C лежат на боль­шей и мень­шей окруж­но­стях со­от­вет­ствен­но. Пря­мая  AC вто­рич­но пе­ре­се­ка­ет мень­шую окруж­ность в точке D. Пря­мая BC вто­рич­но пе­ре­се­ка­ет боль­шую окруж­ность в точке E.

а)  До­ка­жи­те, что AE па­рал­лель­но BD.

б)  Най­ди­те AC, если ра­ди­у­сы окруж­но­стей равны 8 и 15.

В июле 2020 года пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит на не­ко­то­рую сумму. Усло­вия воз­вра­та та­ко­вы:

  — в ян­ва­ре каж­до­го года долг уве­ли­чи­ва­ет­ся на 30% по срав­не­нию с преды­ду­щим годом;

  — с фев­ра­ля по июнь нужно вы­пла­тить часть долга одним пла­те­жом.

Опре­де­ли­те, на какую сумму будет взят кре­дит банке, если из­вест­но, что кре­дит будет вы­пла­чен тремя рав­ны­ми пла­те­жа­ми (за 3 года) и общая сумма вы­плат будет на 78 030 руб­лей боль­ше суммы взя­то­го кре­ди­та.

Най­ди­те все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма урав­не­ний

имеет ровно два раз­лич­ных ре­ше­ния.

На доске на­пи­са­но n еди­ниц, между не­ко­то­ры­ми из ко­то­рых по­ста­ви­ли знаки + и по­счи­та­ли сумму. На­при­мер, если из­на­чаль­но было на­пи­са­но n  =  12 еди­ниц, то могла по­лу­чить­ся, на­при­мер, такая сумма:

а)  Могла ли сумма рав­нять­ся 150, если n  =  60?

б)  Могла ли сумма рав­нять­ся 150, если n  =  80?

в)  Чему могло рав­нять­ся n, если по­лу­чен­ная сумма чисел равна 150?