а)  Пусть на доске на­пи­са­ны числа 24, 54 и 204. Тогда их сумма равна 282.

б)  Каж­дое из на­пи­сан­ных чисел окан­чи­ва­ет­ся на 4, по­это­му если их сумма окан­чи­ва­ет­ся на 0, то их ко­ли­че­ство долж­но де­лить­ся на 5. Сумма пяти наи­мень­ших чисел, каж­дое из ко­то­рых де­лит­ся на 3 и окан­чи­ва­ет­ся на 4, равна 24 + 54 + 84 + 114 + 144  =  420. Зна­чит, по­лу­чить сумму 390 не­воз­мож­но.

в)  Пусть на доске на­пи­са­но n чисел. За­ме­тим, что любое число, ко­то­рое окан­чи­ва­ет­ся на 4, пред­ста­ви­мо в виде 5k + 4. Зна­чит, сумма чисел, на­пи­сан­ных на доске, равна 2226 = 5m + 4n. Сле­до­ва­тель­но, 4n даёт оста­ток 1 при де­ле­нии на 5, от­ку­да по­лу­ча­ем, что n даёт оста­ток 4 при де­ле­нии на 5.

Пред­по­ло­жим, что Сумма че­тыр­на­дца­ти наи­мень­ших чисел, каж­дое из ко­то­рых де­лит­ся на 3 и окан­чи­ва­ет­ся на 4, равна

Зна­чит, n < 14, сле­до­ва­тель­но,

По­ка­жем, что могло быть на­пи­са­но де­вять чисел. На­при­мер, сумма де­вя­ти чисел 24, 54, 84, 114, 144, 174, 204, 234, 1194 равна 2226.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  9.

При­ве­дем ре­ше­ние Ев­ге­ния Обу­хо­ва (Москва).

а)  Воз­рас­та­ю­щий ряд на­ту­раль­ных чисел, де­ля­щих­ся на 3 (сумма цифр числа де­лит­ся на 3) и окан­чи­ва­ю­щих­ся на 4, на­чи­на­ет­ся фраг­мен­том: 24, 54, 84, 114, 144, ... . Легко по­до­брать при­мер:

б)  До­пу­стим, может. Это озна­ча­ет, что в сумме как ми­ни­мум пять сла­га­е­мых (иначе сумма чисел, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 4, не за­кан­чи­ва­ет­ся 0). Сле­до­ва­тель­но, сумма не мень­ше, чем Про­ти­во­ре­чие.

в)  Из пунк­та а) сле­ду­ет, что рас­смат­ри­ва­е­мая по­сле­до­ва­тель­ность чисел воз­рас­та­ет. Раз­ность со­сед­них чисел долж­на де­лить­ся и на 10, по­сколь­ку все числа окан­чи­ва­ют­ся на 4, и де­лить­ся на 3, по­сколь­ку все числа де­лят­ся на 3. Сле­до­ва­тель­но, эта раз­ность равна 30. То есть на доске на­пи­са­ны числа вида где k_i  — целое не­от­ри­ца­тель­ное число. Тогда сумма n чисел на доске равна

Так как все числа на доске раз­лич­ны, то

Тогда

Из этого не­ра­вен­ства сле­ду­ет, что Из (⁎) сле­ду­ет, что де­лит­ся на 10, сле­до­ва­тель­но, и за­ве­до­мо не под­хо­дят. При из (⁎) по­лу­ча­ем, что По­стро­е­ние при­ме­ра за­вер­ша­ет его предъ­яв­ле­ние:

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  9.

При­ве­дем ре­ше­ние Вла­ди­сла­ва Фран­ка (Санкт-⁠Пе­тер­бург).

а)  Да. На­при­мер, 24 + 54 + 204.

б)  Нет. Если их по­след­ние цифры чет­вер­ки, то нужно ми­ни­мум 5 чисел, чтобы их сумма кон­ча­лась на 0, но даже сумма самых ма­лень­ких пяти таких чисел слиш­ком ве­ли­ка:

в)  Разо­бьем числа на груп­пы по пять. Тогда в каж­дой груп­пе сумма кон­ча­ет­ся на 0. Зна­чит, в по­след­ней груп­пе (она могла бы быть не­пол­ной) долж­но быть 4 числа  — иначе по­след­няя цифра суммы не сой­дет­ся. Итак, общее ко­ли­че­ство чисел может быть 4, 9, 14, 19, ... . Если взять 14 наи­мень­ших чисел, то их сумма будет равна По­это­му чисел не более де­вя­ти. Де­вять чисел взять можно, на­при­мер,

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  9.