Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 526221

Последовательность натуральных чисел (an) состоит из 400 членов. Каждый член последовательности, начиная со второго, либо вдвое больше предыдущего, либо на 98 меньше предыдущего.

а)  Может ли последовательность (an) содержать ровно 5 различных чисел?

б)  Чему может равняться a_1, если a_100=75?

в)  Какое наименьшее значение может принимать наибольший член последовательности (an)?

Спрятать решение

Решение.

а)  Пусть a  — первое число. Постараемся найти цепочку вида:

aarrow 2a arrow 4a arrow 8a arrow 8a минус 98 arrow 8a минус 98 минус 98.

Для зацикливания требуется, чтобы a=8a минус 196. Это уравнение имеет натуральное решение: a=28. Действительно, имеем цепочку, состоящую из пяти чисел:

28arrow 56 arrow 112 arrow 224 arrow 126 arrow 28 arrow \ldots

б)  По условию или a_99= дробь: числитель: a_100, знаменатель: 2 конец дроби , или a_99=a_100 плюс 98. Но a_100  — нечетное число, поэтому есть ровно одна возможность: a_99=75 плюс 98. a_99  — снова нечетное число, поэтому для a_98 снова ровно одна возможность. Так всякий раз будут получаться нечетные числа, поскольку сумма нечетного и четного чисел является нечетным числом. Рассуждая аналогично, получаем: a_1=75 плюс 98 умножить на 99=9777.

в)  Заметим, что цепочка 7arrow 14 arrow 28 arrow 56 arrow 112 arrow 14 arrow \ldots удовлетворяет условиям. Докажем, что наибольший член последовательности не может быть меньше 112.

Пусть a  — наибольший член последовательности (начиная с момента, когда впервые произошло умножение на 2; заметим, что в нашем случае 98 не может вычитаться дважды подряд). Тогда предыдущее число  — это  дробь: числитель: a, знаменатель: 2 конец дроби . Следовательно, a  — четное.

Ясно, что значение 98 и меньше a быть не может, так как это бы означало, что в нашей цепочке, начиная с первого умножения на 2, ни разу не вычиталось 98. Следовательно, с этого момента были только умножения на 2. Но тогда, очевидно, нашелся бы член последовательности, который больше 112. Поэтому достаточно рассмотреть случаи, когда a равно 110, 108, 106, 104, 102, 100.

Переберем эти значения. Рассмотрим момент, когда a появился впервые (очевидно, номер этого члена последовательности заведомо не превзойдет, например, 10). В случае значений a, равных 100, 102, 106, после вычитания 98 (на следующем шаге), мы попадем в элемент цепочки

2arrow 4 arrow 8 arrow 16 arrow 32 arrow 64 arrow 128 arrow \ldots

и найдется член, который превзойдет 112 (и будет равен по крайней мере 128).

Значения a, равные 104 и 110, приведут нас в элемент цепочки

6arrow 12 arrow 24 arrow 48 arrow 96 arrow 192 arrow \ldots

Значение a=108 приведет нас к цепочке

10arrow 20 arrow 40 arrow 80 arrow 160 arrow \ldots

и вновь найдется член, который превзойдет 112 (и будет равен, по крайней мере, 160).

 

Ответ: а) да, б) 9777, в) 112.

 

Примечание.

Как можно было догадаться, что в пункте в) цепочку надо начинать с 7 (или 14)? Кстати, эта цепочка подходит и для пункта а). Дело в том, что в результате наших операций образуются числа вида 2 в степени k умножить на m, где m − нечетное число. Это число должно быть больше 98, но не сильно. Можно перебрать маленькие значения k и подобрать m как раз с этим условием (2 в степени k умножить на m больше 98, но не сильно). Так мы довольно быстро получаем число 112=2 в степени 4 умножить на 7. Которое хорошо тем, что при вычитании 98, дает 14 . Это хорошее число, потому что 14=2 умножить на 7 и после нескольких умножений на 2 мы вновь попадем в 112. (Например, 13 умножить на 2 в кубе минус 98=104 минус 98=6, 6 − это далеко не такое хорошее число, хоть оно и меньше 14, т. к. после серии умножений 6 на 2, наименьшее число, которое будет больше 98, это 192.)

Можно было также думать: 98=14 умножить на 7. Следовательно, если начать с 14, то через три операции мы получим 14 умножить на 2 в кубе =14 умножить на 8. И при вычитании 98 мы получим 14 умножить на 8 минус 14 умножить на 7, т. е. снова 14, а это для нас очень хорошо!

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.2
Верно получен один из следующих результатов:

— обоснованное решение в п. а;

— пример в п. б;

— искомая оценка в п. в;

— пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл4

Аналоги к заданию № 526221: 527270 539885 Все

Источник: Основная волна ЕГЭ по математике 29.05.2019. Дальний восток, Задания 19 (С7) ЕГЭ 2019
Классификатор алгебры: Последовательности и прогрессии