Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 514615

На доске написано 24 числа: восемь «5», восемь «4» и восемь «3». Эти числа разбивают на две группы, в каждой из которых есть хотя бы одно число. Среднее арифметическое чисел в первой группе равно А, среднее арифметическое чисел во второй группе равно В. (Для группы из единственного числа среднее арифметическое равно этому числу.)

а) Приведите пример разбиения исходных чисел на две группы, при котором среднее арифметическое всех чисел меньше  дробь: числитель: A плюс B, знаменатель: 2 конец дроби .

б) Докажите, что если разбить исходные числа на две группы по 12 чисел, то среднее арифметическое всех чисел будет равно  дробь: числитель: A плюс B, знаменатель: 2 конец дроби .

в) Найдите наибольшее возможное значение выражения  дробь: числитель: A плюс B, знаменатель: 2 конец дроби .

Спрятать решение

Решение.

а) Среднее арифметическое всех чисел равно 4. Разобьём исходные числа на две группы: в первой группе все «5», во второй — все «3» и «4». Тогда

A=5; B= дробь: числитель: 24 плюс 32, знаменатель: 16 конец дроби =3,5;  дробь: числитель: A плюс B, знаменатель: 2 конец дроби =4,25 больше 4.

б) Пусть числа разбиты на две группы по 12 чисел в каждой; сумма чисел в первой группе равна S1, а во второй группе — S2. Тогда

A= дробь: числитель: S_1, знаменатель: 12 конец дроби , B= дробь: числитель: S_2, знаменатель: 12 конец дроби ,  дробь: числитель: A плюс B, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: дробь: числитель: S_1, знаменатель: 12 конец дроби плюс дробь: числитель: S_2, знаменатель: 12 конец дроби , знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: S_1 плюс S_2, знаменатель: 24 конец дроби .

что равно среднему арифметическому всех чисел.

в) Если в каждой из двух групп количество «3» равно количеству «5», то

A=B=4 и  дробь: числитель: A плюс B, знаменатель: 2 конец дроби =4.

В противоположном случае в одной из групп количество «3» больше количества «5». Значит, среднее арифметическое чисел в этой группе меньше 4. Можно считать, что это верная группа. Среди дробей, меньших 4, знаменатель которых не превосходит 23, наибольшая дробь — это  целая часть: 3, дробная часть: числитель: 22, знаменатель: 23 , то есть А не превосходит  целая часть: 3, дробная часть: числитель: 22, знаменатель: 23 . Очевидно, что В не может быть больше 5. Значит,

 дробь: числитель: A плюс B, знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: целая часть: 3, дробная часть: числитель: 22, знаменатель: 23 плюс 5, знаменатель: 2 конец дроби = целая часть: 4, дробная часть: числитель: 11, знаменатель: 23 .

Если в одной группе одна «5», а в другой все остальные числа, то

A=5; B= целая часть: 3, дробная часть: числитель: 22, знаменатель: 23 ;  дробь: числитель: A плюс B, знаменатель: 2 конец дроби = целая часть: 4, дробная часть: числитель: 11, знаменатель: 23 .

Ответ: а) например, в первой группе все «5», во второй — все «3» и «4»; в)  целая часть: 4, дробная часть: числитель: 11, знаменатель: 23 .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.2
Верно получен один из следующий результатов:

— пример в п. а;

— верное доказательство в п. б;

— искомая оценка в п. в;

— пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл4

Аналоги к заданию № 514608: 514615 514560 Все

Источник: ЕГЭ по математике 06.06.2016. Основная волна. Вариант 605 (C часть). , ЕГЭ по математике 06.06.2016. Основная волна. Вариант 608 (C часть).
Классификатор алгебры: Последовательности и прогрессии