Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 19 № 677080
i

На­ту­раль­ный ряд «удво­и­ли», то есть каж­дое число за­пи­са­ли два­жды: 1, 1, 2, 2, 3, 3, ... . По­лу­чив­ший­ся ряд чисел раз­би­ли на по­сле­до­ва­тель­но­сти: M_1 = левая круг­лая скоб­ка 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , M_2 = левая круг­лая скоб­ка 1; 2 пра­вая круг­лая скоб­ка , M_3 = левая круг­лая скоб­ка 2; 3; 3 пра­вая круг­лая скоб­ка , \ldots так, что по­сле­до­ва­тель­ность Mn со­дер­жит n чисел, иду­щих по по­ряд­ку.

а)  Может ли сумма чисел в какой-⁠либо по­сле­до­ва­тель­но­сти рав­нять­ся 89?

б)  Может ли сумма чисел в какой-⁠либо по­сле­до­ва­тель­но­сти рав­нять­ся 119?

в)  Чему равна сумма чисел в по­сле­до­ва­тель­но­сти M100?

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Ясно, что сумма чисел в каж­дом сле­ду­ю­щем Mi боль­ше, чем в преды­ду­щем, по­сколь­ку в нем боль­ше чисел и сами они боль­ше: пер­вое в Mi не мень­ше чем пер­вое в M_i минус 1 и так далее. Более того, есть еще по­след­нее лиш­нее число.

а)  На­при­мер, M_7 = левая фи­гур­ная скоб­ка 11; 12; 12; 13; 13; 14; 14 пра­вая фи­гур­ная скоб­ка , сумма этих чисел равна 89.

б)  На­при­мер, M_8 = левая фи­гур­ная скоб­ка 15; 15; 16; 16; 17; 17; 18; 18 пра­вая фи­гур­ная скоб­ка , сумма этих чисел боль­ше чем 15 умно­жить на 8 = 120 боль­ше 119, по­это­му при i боль­ше 8 сумма в Mi боль­ше 119, а при i мень­ше 8 сумма не боль­ше 89. Зна­чит, сумма 119 не­до­сти­жи­ма.

в)  До M_100 ис­поль­зо­ва­но

1 плюс 2 плюс \ldots плюс 99 = дробь: чис­ли­тель: 99 умно­жить на 100, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = 99 умно­жить на 50

чисел, то есть все числа до 99 умно­жить на 25 по два раза. Зна­чит,

M_100 = левая фи­гур­ная скоб­ка 99 умно­жить на 25 плюс 1; 99 умно­жить на 25 плюс 1; 99 умно­жить на 25 плюс 2; \ldots 99 умно­жить на 25 плюс 50 пра­вая фи­гур­ная скоб­ка .

Сумма этих чисел равна

100 умно­жить на 99 умно­жить на 25 плюс 2 левая круг­лая скоб­ка 1 плюс 2 плюс \ldots плюс 50 пра­вая круг­лая скоб­ка = 2500 умно­жить на 99 плюс 50 умно­жить на 51 = 2500 умно­жить на 99 плюс 50 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 50 плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =
= 2500 умно­жить на 99 плюс 2500 плюс 50 = 2500 умно­жить на 100 плюс 50=250 050.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  250 050.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в пунк­тах а), б) и в).4
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те в) и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те а) или б).3
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в пунк­тах а) и б)

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те в)

2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те а) или б).1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл4
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 497
Классификатор алгебры: По­сле­до­ва­тель­но­сти и про­грес­сии
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025