Вася и Петя решали задачи из сборника, причем каждый следующий день Вася решал на одну задачу больше, чем в предыдущий, а Петя — на две задачи больше, чем в предыдущий. В первый день каждый решил хотя бы одну задачу, а в итоге каждый решил все задачи сборника.
а) Могло ли быть в сборнике 85 задач?
б) Могло ли быть в сборнике 213 задач, если каждый из мальчиков решал их более трех дней?
в) Какое наибольшее количество дней мог решать задачи Петя, если Вася решил весь сборник за 16 дней, а количество задач в сборнике меньше 300.
Пусть Вася в первый день решил a задач, а Петя — b задач. Вася решал задачи n дней, а Петя — m дней. Воспользуемся формулой суммы арифметической прогрессии. Получим, что за n дней Вася решил 
задач, а Петя за m дней решил 
задач.
а) Проверим, могли ли мальчики решить 85 задач.
Для Васи: 
Очевидно, что это уравнение имеет решения в натуральных числах. Например, 
Для Пети: 
Очевидно, что и это уравнение имеет решения в натуральных числах. Например, 
Значит, в сборнике могло быть 85 задач.
б) Проверим, могло ли в сборнике быть 213 задач, если каждый из мальчиков решал их более трех дней.
Для Пети: 
Тогда m — один из делителей числа 213. Заметим, что 71 — простое число, и по условию 
Тогда или 
или 
При любом из этих значений получаем 
Значит, в сборнике не могло быть 213 задач.
в) Если в сборнике меньше 300 задач, то для числа дней, потраченных Петей, имеем: 
Следовательно, 
При 
получаем 
тогда 
Проверим, мог ли Вася за 16 дней решить 289 задач: 
Левая часть уравнения кратна 8, а правая нет, значит, m не может равняться 17.
Рассмотрим 
Имеем 
Левая часть уравнения кратна 2, а правая нет. Значит, m не может равняться 16.
Рассмотрим 
Имеем 
Левая часть уравнения кратна 15, правая может быть кратна 15 при 
но тогда 
Значит, m не может равняться 15.
Рассмотрим 
Имеем 
Это уравнение имеет решение 
При этом 
Таким образом, все условия задачи выполнены.
Ответ: а) да; б) нет; в) 14.