Готовясь к экзамену, Вася и Петя решали задачи из сборника, и каждый из них решил все задачи этого сборника. Каждый день Вася решал на одну задачу больше, чем в предыдущий день, а Петя решал на две задачи больше, чем в предыдущий день. Они начали решать задачи в один день, при этом в первый день каждый из них решил хотя бы одну задачу.
а) Могло ли получиться так, что каждый из них решил все задачи сборника ровно за 5 дней?
б) Могло ли получиться так, что каждый из них решил все задачи сборника ровно за 10 дней?
в) Какое наименьшее число задач могло быть в сборнике, если известно, что каждый из них решал задачи более 6 дней, в первый день Вася решил больше задач, чем Петя, а за семь дней Петя решил больше задач, чем Вася?
Пусть Вася в первый день решил a задач, а Петя — b задач. Вася решал задачи n дней, а Петя — m дней. Воспользуемся формулой суммы арифметической прогрессии. Получим, что за n дней Вася решил 
задач, а Петя за m дней решил 
задач.
а) Проверим, могло ли получиться так, что каждый из них решил все задачи сборника ровно за 5 дней.
Вася за 5 дней решил 
задач, а Петя 
задач. Приравняем эти значения: 
Откуда получаем, что 
Таким образом, мальчики могли решить все задачи сборника ровно за пять дней, если Вася в первый день решил на две задачи больше, чем Петя.
б) Проверим, могло ли получиться так, что каждый из них решил все задачи сборника ровно за десять дней.
Вася за 10 дней решил 
задач, а Петя 
задач. Приравняем эти значения: 
Откуда получаем, что 
Это равенство не может быть выполнено ни при каких целых a и b, следовательно, мальчики не могли решить все задачи сборника ровно за десять дней.
в) Пусть Вася решал задачи k дней, а Петя — l дней. Тогда
По условию 
но при этом
Количество задач в сборнике будет минимальным при минимальных значениях l и b.
Минимальное возможное 
Значение а должно удовлетворять условию 
значение k — условию 
Проверим возможные значения и занесём их в таблицу:
| l | b | S | a | Уравнение (*) | Натуральные решения |
| 7 | 1 | 49 | 2 |  | нет натуральных k |
| 7 | 1 | 49 | 3 |  | нет натуральных k |
| 7 | 2 | 56 | 3 |  | нет натуральных k |
| 7 | 2 | 56 | 4 |  | нет натуральных k |
| 7 | 3 | 63 | 4 |  | нет натуральных k |
| 7 | 3 | 63 | 5 |  | нет натуральных k |
| 7 | 4 | 70 | 5 |  | нет натуральных k |
| 7 | 4 | 70 | 6 |  | нет натуральных k |
| 7 | 5 | 77, что больше 72 | ... |  | |
| 8 | 1 | 64 | 2 |  | нет натуральных k |
| 8 | 1 | 64 | 3 |  | нет натуральных k |
| 8 | 2 | 72 | 3 |  | нет натуральных k |
| 8 | 2 | 72 | 4 |  |  |
| 8 | 3 | 80 (что больше 72) | |||
| 9 | 1 | 81 (что больше 72) | |||
| ... | ... | больше, чем 72 |
Таким образом, наименьшее число задач в сборнике равно 72, и все условия задачи выполняются при k = 9, a = 4, l = 8, b = 2.
Ответ: а) да; б) нет; в) 72.