Ана­на­сы стоят 85 руб. за штуку. Какое мак­си­маль­ное число ана­на­сов можно ку­пить на 500 руб., если их цена сни­зит­ся на 20%?

На ри­сун­ке жир­ны­ми точ­ка­ми по­ка­за­но из­ме­не­ние бир­же­вой сто­и­мо­сти акций цел­лю­лоз­но-бу­маж­но­го за­во­да в пер­вой по­ло­ви­не ап­ре­ля. Для на­гляд­но­сти жир­ные точки на ри­сун­ке со­еди­не­ны ли­ни­ей. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ют­ся числа ме­ся­ца, по вер­ти­ка­ли  — сто­и­мость акции в руб­лях. 2 ап­ре­ля биз­не­смен при­обрёл 250 акций этого за­во­да. 6 ап­ре­ля он про­дал 150 акций, а остав­ши­е­ся акции про­дал 11 ап­ре­ля. Сколь­ко руб­лей со­ста­ви­ли убыт­ки биз­не­сме­на в ре­зуль­та­те этих опе­ра­ций?

Фирма пла­ни­ру­ет за­ку­пить 150 м³ дре­ве­си­ны у одной из трёх ле­со­пи­лок. Цены и усло­вия при­ве­де­ны в таб­ли­це. Ка­ко­ва сто­и­мость самой вы­год­ной по­куп­ки с учётом до­став­ки?

В рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке ABC с ос­но­ва­ни­ем AB угол С равен 48°. Най­ди­те угол между сто­ро­ной AB и вы­со­той АН этого тре­уголь­ни­ка.

У Вити в ко­пил­ке лежит 12 рублёвых, 6 двух­рублёвых, 4 пя­ти­рублёвых и 3 де­ся­ти­рублёвых мо­не­ты. Витя на­у­гад достаёт из ко­пил­ки одну мо­не­ту. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что остав­ша­я­ся в ко­пил­ке сумма со­ста­вит более 70 руб­лей.

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния

В тре­уголь­ни­ке Най­ди­те

На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции y = f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−3; 9). Най­ди­те ко­ли­че­ство точек, в ко­то­рых ка­са­тель­ная к гра­фи­ку функ­ции па­рал­лель­на пря­мой y = 12 или сов­па­да­ет с ней.

Ци­линдр опи­сан около шара. Объем ци­лин­дра равен 33. Най­ди­те объем шара.

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

При нор­маль­ном па­де­нии света с дли­ной волны нм на ди­фрак­ци­он­ную решётку с пе­ри­о­дом d нм на­блю­да­ют серию ди­фрак­ци­он­ных мак­си­му­мов. При этом угол (от­счи­ты­ва­е­мый от пер­пен­ди­ку­ля­ра к ре­шет­ке), под ко­то­рым на­блю­да­ет­ся мак­си­мум, и номер мак­си­му­ма k свя­за­ны со­от­но­ше­ни­ем Под каким ми­ни­маль­ным углом (в гра­ду­сах) можно на­блю­дать вто­рой мак­си­мум на решётке с пе­ри­о­дом, не пре­вос­хо­дя­щим 1800 нм.

В пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­де бо­ко­вое ребро равно 22, а тан­генс угла между бо­ко­вой гра­нью и плос­ко­стью ос­но­ва­ния равен Найти сто­ро­ну ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды.

Два про­мыш­лен­ных филь­тра, ра­бо­тая од­но­вре­мен­но, очи­ща­ют ци­стер­ну воды за 30 минут. Опре­де­ли­те, за сколь­ко минут вто­рой фильтр очи­стит ци­стер­ну воды, ра­бо­тая от­дель­но, если из­вест­но, что он сде­ла­ет это на 25 минут быст­рее, чем пер­вый.

Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке [−2; 2].

а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие про­ме­жут­ку

В пи­ра­ми­де DABC пря­мые, со­дер­жа­щие ребра DC и AB, пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

а)  По­строй­те се­че­ние плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точку О  — се­ре­ди­ну ребра DB, и па­рал­лель­но DC и AB. До­ка­жи­те, что по­лу­чив­ше­е­ся се­че­ние яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ни­ком.

б)  Най­ди­те угол между диа­го­на­ля­ми этого пря­мо­уголь­ни­ка, если DC = 24, AB =10.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

Точка О  — центр окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC. На про­дол­же­нии от­рез­ка AO за точку О от­ме­че­на точка K так, что BK  =  OK.

а)  До­ка­жи­те, что че­ты­рех­уголь­ник ABKC впи­сан­ный.

б)  Най­ди­те длину от­рез­ка AO, если из­вест­но, что ра­ди­у­сы впи­сан­ной и опи­сан­ной окруж­но­стей тре­уголь­ни­ка ABC равны 3 и 12 со­от­вет­ствен­но, а OK  =  5.

Фаб­ри­ка, про­из­во­дя­щая пи­ще­вые по­лу­фаб­ри­ка­ты, вы­пус­ка­ет блин­чи­ки со сле­ду­ю­щи­ми ви­да­ми на­чин­ки: ягод­ная и тво­рож­ная. В дан­ной ниже таб­ли­це при­ве­де­ны се­бе­сто­и­мость и от­пуск­ная цена, а также про­из­вод­ствен­ные воз­мож­но­сти фаб­ри­ки по каж­до­му виду про­дук­та при пол­ной за­груз­ке всех мощ­но­стей толь­ко дан­ным видом про­дук­та.

Для вы­пол­не­ния усло­вий ас­сор­ти­мент­но­сти, ко­то­рые предъ­яв­ля­ют­ся тор­го­вы­ми се­тя­ми, про­дук­ции каж­до­го вида долж­но быть вы­пу­ще­но не менее 15 тонн. Пред­по­ла­гая, что вся про­дук­ция фаб­ри­ки на­хо­дит спрос (ре­а­ли­зу­ет­ся без остат­ка), най­ди­те мак­си­маль­но воз­мож­ную при­быль, ко­то­рую может по­лу­чить фаб­ри­ка от про­из­вод­ства блин­чи­ков за 1 месяц.

Най­ди­те все зна­че­ния а, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма

имеет един­ствен­ное ре­ше­ние.

Даны n раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел, со­став­ля­ю­щих ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию (n ≥ 3).

а)  Может ли сумма всех дан­ных чисел быть рав­ной 16?

б)  Ка­ко­во наи­боль­шее зна­че­ние n, если сумма всех дан­ных чисел мень­ше 900?

в)  Най­ди­те все воз­мож­ные зна­че­ние n, если сумма всех дан­ных чисел равна 235.