На ко­раб­ле плывёт 500 пас­са­жи­ров и 15 чле­нов ко­ман­ды. Сколь­ко шлю­пок по­тре­бу­ет­ся, чтобы пе­ре­вез­ти всех людей с ко­раб­ля на берег, если в одну шлюп­ку по­ме­ща­ет­ся 80 че­ло­век.

На диа­грам­ме по­ка­за­на сред­не­ме­сяч­ная тем­пе­ра­ту­ра воз­ду­ха в Ниж­нем Нов­го­ро­де (Горь­ком) за каж­дый месяц 1994 года. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ют­ся ме­ся­цы, по вер­ти­ка­ли  — тем­пе­ра­ту­ра в гра­ду­сах Цель­сия. Опре­де­ли­те по диа­грам­ме наи­боль­шую сред­не­ме­сяч­ную тем­пе­ра­ту­ру в пе­ри­од с ян­ва­ря по ап­рель 1994 года. Ответ дайте в гра­ду­сах Цель­сия.

Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка, изоб­ражённого на клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1×1 см. Ответ дайте в квад­рат­ных сан­ти­мет­рах.

В сбор­ни­ке би­ле­тов по ма­те­ма­ти­ке всего 25 би­ле­тов, в 10 из них встре­ча­ет­ся во­прос по теме «Не­ра­вен­ства». Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что в слу­чай­но вы­бран­ном на эк­за­ме­не би­ле­те школь­ни­ку не до­ста­нет­ся во­про­са по теме «Не­ра­вен­ства».

Ре­ши­те урав­не­ние

В четырёхуголь­ник ABCD впи­са­на окруж­ность, Най­ди­те длину сто­ро­ны AD.

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции y  =  f(x) и ка­са­тель­ная к нему в точке с абс­цис­сой x₀. Най­ди­те зна­че­ние про­из­вод­ной функ­ции f(x) в точке x₀.

Во сколь­ко раз из­ме­нит­ся объём ко­ну­са, если его вы­со­та умень­шит­ся в 12 раз, а ра­ди­ус ос­но­ва­ния не из­ме­нил­ся.

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

При сбли­же­нии ис­точ­ни­ка и приёмника зву­ко­вых сиг­на­лов дви­жу­щих­ся в не­ко­то­рой среде по пря­мой нав­стре­чу друг другу ча­сто­та зву­ко­во­го сиг­на­ла, ре­ги­стри­ру­е­мо­го приeмни­ком, не сов­па­да­ет с ча­сто­той ис­ход­но­го сиг­на­ла Гц и опре­де­ля­ет­ся сле­ду­ю­щим вы­ра­же­ни­ем: (Гц), где c  — ско­рость рас­про­стра­не­ния сиг­на­ла в среде (в м/с), а м/с и м/с  — ско­ро­сти приeмника и ис­точ­ни­ка от­но­си­тель­но среды со­от­вет­ствен­но. При какой мак­си­маль­ной ско­ро­сти c (в м/с) рас­про­стра­не­ния сиг­на­ла в среде ча­сто­та сиг­на­ла в приeмнике f будет не менее 160 Гц?

Ве­ло­си­пе­дист вы­ехал с по­сто­ян­ной ско­ро­стью из го­ро­да A в город B, рас­сто­я­ние между ко­то­ры­ми равно 77 км. На сле­ду­ю­щий день он от­пра­вил­ся об­рат­но в A со ско­ро­стью на 4 км/ч боль­ше преж­ней. По до­ро­ге он сде­лал оста­нов­ку на 4 часа. В ре­зуль­та­те ве­ло­си­пе­дист за­тра­тил на об­рат­ный путь столь­ко же вре­ме­ни, сколь­ко на путь из A в B. Най­ди­те ско­рость ве­ло­си­пе­ди­ста на пути из B в A. Ответ дайте в км/ч.

Най­ди­те точку мак­си­му­ма функ­ции

а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC точка P  — делит сто­ро­ну AB в от­но­ше­нии счи­тая от вер­ши­ны A, точка K  — делит сто­ро­ну BC в от­но­ше­нии счи­тая от вер­ши­ны C. Через точки P и K па­рал­лель­но SB про­ве­де­на плос­кость

а)  До­ка­жи­те, что се­че­ние пи­ра­ми­ды плос­ко­стью яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ни­ком.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки S до плос­ко­сти если из­вест­но, что

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

Точка O  — центр впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC окруж­но­сти. Пря­мая OB вто­рич­но пе­ре­се­ка­ет опи­сан­ную около этого тре­уголь­ни­ка окруж­ность в точке P.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки P до пря­мой AC, если а ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти равен 18.

В июле пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на сумму 6 млн руб­лей на срок 15 лет. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

—  каж­дый ян­варь долг воз­рас­та­ет на x% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года;

—  с фев­ра­ля по июнь каж­до­го года не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

—  в июле каж­до­го года долг дол­жен быть на одну и ту же ве­ли­чи­ну мень­ше долга на июль преды­ду­ще­го года.

Най­ди­те x, если из­вест­но, что наи­боль­ший платёж по кре­ди­ту со­ста­вит не более 1,9 млн руб­лей, а наи­мень­ший  — не менее 0,5 млн руб­лей.

При каких зна­че­ни­ях па­ра­мет­ра a урав­не­ние

имеет ровно 2 раз­лич­ных ре­ше­ния.

По­сле­до­ва­тель­ность на­ту­раль­ных чисел (a_n) со­сто­ит из 400 чле­нов. Каж­дый член по­сле­до­ва­тель­но­сти, на­чи­ная со вто­ро­го, либо вдвое боль­ше преды­ду­ще­го, либо на 98 мень­ше преды­ду­ще­го.

а)  Может ли по­сле­до­ва­тель­ность (a_n) со­дер­жать ровно 5 раз­лич­ных чисел?

б)  Чему может рав­нять­ся если

в)  Какое наи­мень­шее зна­че­ние может при­ни­мать наи­боль­ший член по­сле­до­ва­тель­но­сти (a_n)?