а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точки P, K, L  — се­ре­ди­ны ребер АА₁, A₁D₁, B₁C₁ со­от­вет­ствен­но, точка Q  — центр грани CC₁D₁D. От­ре­зок MN c кон­ца­ми на пря­мых AD и KL со­от­вет­ствен­но пе­ре­се­ка­ет пря­мую PQ и пер­пен­ди­ку­ля­рен ей.

а)  До­ка­жи­те, что AM : MD  =  5 : 1.

б)  Най­ди­те длину от­рез­ка MN, если сто­ро­на куба равна 3.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

Бу­ра­ти­но и папа Карло пла­ни­ро­ва­ли по­ло­жить свои ка­пи­та­лы на общий счет в банк «Навро­де» под 500% го­до­вых, рас­счи­ты­вая через год за­брать вклад ве­ли­чи­ной S. Крах банка из­ме­нил их планы. Бу­ра­ти­но по­да­рил часть своих зо­ло­тых папе Карло, а осталь­ные по­ло­жил в банк «Оби­рон», даже не по­ин­те­ре­со­вав­шись про­цент­ной став­кой. Папа Карло при­со­еди­нил по­лу­чен­ные зо­ло­тые к сво­е­му ка­пи­та­лу и сде­лал вклад в банк «Вам­пи­ри­ал» под 50% го­до­вых. Ровно через год они за­бра­ли свои вкла­ды. Ока­за­лось, что папа Карло по­лу­чил а Бу­ра­ти­но в три раза мень­ше. Какой про­цент го­до­вых дает банк «Оби­ри­он»?

В пря­мо­уголь­ной тра­пе­ции ABCD с мень­шей бо­ко­вой сто­ро­ной АВ  =  4 и из вер­ши­ны D на диа­го­наль АС опу­щен пер­пен­ди­ку­ляр DH. При этом тре­уголь­ни­ки АВС и DHA равны. Точки О₁ и О₂  — цен­тры окруж­но­стей, впи­сан­ных в тре­уголь­ни­ки АВС и DHA.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая О₁О₂ па­рал­лель­на CD.

б)  Най­ди­те пло­щадь четырёхуголь­ни­ка О₁CDO₂.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет хотя бы одно ре­ше­ние.

а)  Су­ще­ству­ет ли воз­рас­та­ю­щая гео­мет­ри­че­ская про­грес­сия, со­сто­я­щая из трех трех­знач­ных на­ту­раль­ных чисел a, b, c, где a < b < c, у ко­то­рых мно­же­ства цифр оди­на­ко­вые?

б)  Три на­ту­раль­ных числа a, b, c об­ра­зу­ют ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию. Число a дву­знач­ное, число b по­лу­ча­ет­ся, если цифры числа a по­ме­нять ме­ста­ми, число c по­лу­ча­ет­ся, если между циф­ра­ми числа a вста­вить ещё одну цифру. Най­ди­те числа a, b, c и раз­ность про­грес­сии d.

в)  На счет­чи­ке рас­хо­да воды 1 ян­ва­ря сто­я­ло трех­знач­ное число. 1 фев­ра­ля цифры по­ме­ня­лись ме­ста­ми  — пер­вая стала тре­тьей, вто­рая пер­вой, а тре­тья вто­рой. 1 марта цифры опять по­ме­ня­лись ме­ста­ми таким же об­ра­зом  — пер­вая стала тре­тьей, вто­рая пер­вой, а тре­тья вто­рой. При этом рас­ход воды в ян­ва­ре и фев­ра­ле был оди­на­ко­вым. Най­ди­те еже­ме­сяч­ный рас­ход воды и по­ка­за­ния счет­чи­ка с 1 ян­ва­ря по 1 марта.