а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC сто­ро­на ос­но­ва­ния AB равна 6, а бо­ко­вое ребро SA равно 7. На рёбрах AB и SC от­ме­че­ны точки К и М со­от­вет­ствен­но, причём Плос­кость α со­дер­жит пря­мую КМ и па­рал­лель­на пря­мой BC.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость α па­рал­лель­на пря­мой SA.

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стя­ми α и SBC.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

В де­каб­ре 2023 года пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на не­ко­то­рую сумму. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

  —  каж­дый ян­варь долг воз­рас­та­ет на 40% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года;

  —  с марта по но­ябрь каж­до­го года не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга.

Опре­де­ли­те сумму кре­ди­та, если из­вест­но, что кре­дит будет вы­пла­чен тремя пла­те­жа­ми (за 3 года), причём каж­дый по­сле­ду­ю­щий платёж в два раза боль­ше преды­ду­ще­го и общая сумма вы­плат на 130 600 руб. боль­ше суммы, взя­той в кре­дит.

Окруж­ность с цен­тром в точке C ка­са­ет­ся ги­по­те­ну­зы AB пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC и пе­ре­се­ка­ет его ка­те­ты AC и BC в точ­ках E и F. Точка D  — ос­но­ва­ние вы­со­ты, опу­щен­ной из вер­ши­ны C. Точки O₁ и O₂  — цен­тры окруж­но­стей, впи­сан­ных в тре­уголь­ни­ки ACD и BCD.

а)  До­ка­жи­те, что O₁ и O₂ лежат на от­рез­ке EF .

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки C до пря­мой O₁O₂, если AC  =  15 и BC  =  20.

Най­ди­те все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

не имеет ре­ше­ний.

В бес­ко­неч­ной по­сле­до­ва­тель­но­сти на­ту­раль­ных чисел {c_n} числа, сто­я­щие на не­чет­ных ме­стах, об­ра­зу­ют ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию {a_n} с пер­вым чле­ном a и раз­но­стью а числа, сто­я­щие на чет­ных ме­стах, об­ра­зу­ют ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию {b_n} с пер­вым чле­ном b и раз­но­стью при­чем и

а)  Могут ли в по­сле­до­ва­тель­но­сти {c_n} сто­ять под­ряд три оди­на­ко­вых числа?

б)  Какое мак­си­маль­ное ко­ли­че­ство пар со­сед­них оди­на­ко­вых чисел может быть в по­сле­до­ва­тель­но­сти {c_n}?

в)  Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство чисел в по­сле­до­ва­тель­но­сти {c_n} может сто­ять между двумя па­ра­ми со­сед­них оди­на­ко­вых чисел?