Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 525246

Вася и Петя решают задачи из сборника. Они начали решать задачи в один и тот же день, и решили в этот день хотя бы по одной задаче каждый. Вася решал в каждый следующий день на одну задачу больше, чем в предыдущий, а Петя — на две задачи больше, чем предыдущий день. В итоге каждый из них решил все задачи из сборника.

а) Могло ли быть так, что в первый день они решили одинаковое число задач, при этом Петя прорешал весь сборник за пять дней?

б) Могло ли быть так, что в первый день они решили одинаковое число задач, при этом Петя прорешал весь сборник за десять дней?

в) Какое наименьшее количество задач могло быть в сборнике, если каждый из ребят решал задачи более 6 дней, причем в первый день Вася решил больше задач чем Петя, а за 7 дней Петя решил задач больше, чем Вася?

Спрятать решение

Решение.

а) Пусть мальчики в первый день решили a задач. Тогда за пять дней Петя решил

a плюс левая круглая скобка a плюс 2 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка a плюс 4 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка a плюс 6 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка a плюс 8 правая круглая скобка =5a плюс 20.

задач. Таким образом, сборник содержит 5a + 20 задач.

Пусть Вася решил все задачи из сборника за k > 5 дней, тогда

a плюс левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка a плюс 2 правая круглая скобка плюс \ldots плюс a плюс левая круглая скобка k минус 1 правая круглая скобка =ka плюс дробь: числитель: k левая круглая скобка k минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби =5a плюс 20.

Перепишем последнее уравнение в виде:  левая круглая скобка k минус 5 правая круглая скобка a=20 минус дробь: числитель: k левая круглая скобка k минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби . Нетрудно заметить, что k = 6 и a = 5 ему удовлетворяют.

б) Аналогично пункту а) Петя за десять дней решил a плюс левая круглая скобка a плюс 2 правая круглая скобка плюс \ldots плюс левая круглая скобка a плюс 18 правая круглая скобка =10a плюс 90 задач, а Вася за k > 10 дней решил ka плюс дробь: числитель: k левая круглая скобка k минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби задач. Из условия, следует, что

ka плюс дробь: числитель: k левая круглая скобка k минус 1 правая круглая скобка }2=10a плюс 90 равносильно левая круглая скобка k минус 10 правая круглая скобка a=90 минус дробь: числитель: {, знаменатель: k конец дроби левая круглая скобка k минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби .

Нетрудно заметить, что k = 11 и a = 35 удовлетворяют полученному уравнению.

в) Пусть Вася решал задачи k дней, а Петя — l дней. Тогда

 дробь: числитель: 2a плюс k минус 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на k = дробь: числитель: 2b плюс 2 левая круглая скобка l минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби умножить на l. левая круглая скобка * правая круглая скобка

По условию a меньше b, но при этом

 дробь: числитель: 2a плюс 7 минус 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 7 меньше дробь: числитель: 2b плюс 2 левая круглая скобка 7 минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби умножить на 7 равносильно a меньше b плюс 3.

Количество задач в сборнике будет минимальным при минимальных значениях l и b.

Минимальное возможное l=7. Значение а должно удовлетворять условию b меньше a меньше b плюс 3, значение k — условию k больше 6.

Проверим возможные значения и занесём их в таблицу:

  l    b    S    a  Уравнение (*)Натуральные решения
71492 дробь: числитель: 2 умножить на 2 плюс k минус 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на k=49 нет натуральных k
71493 дробь: числитель: 2 умножить на 3 плюс k минус 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на k=49 нет натуральных k
72563 дробь: числитель: 2 умножить на 3 плюс k минус 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на k=56 нет натуральных k
72564 дробь: числитель: 2 умножить на 4 плюс k минус 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на k=49 нет натуральных k
73634 дробь: числитель: 2 умножить на 4 плюс k минус 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на k=63 нет натуральных k
73635 дробь: числитель: 2 умножить на 5 плюс k минус 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на k=49 нет натуральных k
74705 дробь: числитель: 2 умножить на 5 плюс k минус 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на k=70 нет натуральных k
74706 дробь: числитель: 2 умножить на 6 плюс k минус 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на k=70 нет натуральных k
7577, что больше 72...
81642 дробь: числитель: 2 умножить на 2 плюс k минус 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на k=64 нет натуральных k
81643 дробь: числитель: 2 умножить на 3 плюс k минус 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на k=64 нет натуральных k
82723 дробь: числитель: 2 умножить на 3 плюс k минус 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на k =72 нет натуральных k
82724 дробь: числитель: 2 умножить на 4 плюс k минус 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на k=72 k=9
83 80,

(что больше 72)

91 81,

(что больше 72)

......больше, чем 72

Таким образом, наименьшее число задач в сборнике равно 72, и все условия задачи выполняются при k = 9, a = 4, l = 8, b = 2.

 

Ответ: а) да; б) да; в) 72.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.2
Верно получен один из следующий результатов:

— обоснованное решение в п. а;

— пример в п. б;

— искомая оценка в п. в;

— пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл4
Источник: ЕГЭ по математике 29.03.2019. Досрочная волна. Вариант 3 (только часть С)., Задания 19 (С7) ЕГЭ 2019
Классификатор алгебры: Последовательности и прогрессии