Вася и Петя решают задачи из сборника. Они начали решать задачи в один и тот же день, и решили в этот день хотя бы по одной задаче каждый. Вася решал в каждый следующий день на одну задачу больше, чем в предыдущий, а Петя — на две задачи больше, чем предыдущий день. В итоге каждый из них решил все задачи из сборника.
а) Могло ли быть так, что в первый день они решили одинаковое число задач, при этом Петя прорешал весь сборник за пять дней?
б) Могло ли быть так, что в первый день они решили одинаковое число задач, при этом Петя прорешал весь сборник за десять дней?
в) Какое наименьшее количество задач могло быть в сборнике, если каждый из ребят решал задачи более 6 дней, причем в первый день Вася решил больше задач чем Петя, а за
а) Пусть мальчики в первый день решили a задач. Тогда за пять дней Петя решил
задач. Таким образом, сборник содержит 5a + 20 задач.
Пусть Вася решил все задачи из сборника за k > 5 дней, тогда
Перепишем последнее уравнение в виде: 
Нетрудно заметить, что k = 6 и a = 5 ему удовлетворяют.
б) Аналогично пункту а) Петя за десять дней решил 
задач, а Вася за k > 10 дней решил 
задач. Из условия следует, что
Нетрудно заметить, что k = 11 и a = 35 удовлетворяют полученному уравнению.
в) Пусть Вася решал задачи k дней, а Петя — l дней. Тогда
По условию 
но при этом
Количество задач в сборнике будет минимальным при минимальных значениях l и b.
Минимальное возможное 
Значение а должно удовлетворять условию 
значение k — условию 
Проверим возможные значения и занесём их в таблицу:
| l | b | S | a | Уравнение (*) | Натуральные решения |
| 7 | 1 | 49 | 2 |  | нет натуральных k |
| 7 | 1 | 49 | 3 |  | нет натуральных k |
| 7 | 2 | 56 | 3 |  | нет натуральных k |
| 7 | 2 | 56 | 4 |  | нет натуральных k |
| 7 | 3 | 63 | 4 |  | нет натуральных k |
| 7 | 3 | 63 | 5 |  | нет натуральных k |
| 7 | 4 | 70 | 5 |  | нет натуральных k |
| 7 | 4 | 70 | 6 |  | нет натуральных k |
| 7 | 5 | 77, что больше 72 | ... |  | |
| 8 | 1 | 64 | 2 |  | нет натуральных k |
| 8 | 1 | 64 | 3 |  | нет натуральных k |
| 8 | 2 | 72 | 3 |  | нет натуральных k |
| 8 | 2 | 72 | 4 |  |  |
| 8 | 3 | 80, (что больше 72) | |||
| 9 | 1 | 81, (что больше 72) | |||
| ... | ... | больше, чем 72 |
Таким образом, наименьшее число задач в сборнике равно 72, и все условия задачи выполняются при k = 9, a = 4, l = 8, b = 2.
Ответ: а) да; б) да; в) 72.