Пусть S(n) и K(n) обозначают сумму всех цифр и сумму квадратов всех цифр натурального числа n соответственно.
а) Существует ли такое натуральное число n, что K(n) = 2S(n) + 23?
б) Существует ли такое натуральное число n, что K(n) = 3S(n) + 23?
в) Для какого наименьшего натурального числа n выполнено равенство K(n) = 8S(n) + 83?
а) Такое число существует. Например, при n = 16 имеем S(n) = 7 и K(n) = 37 = 2 ∙ 7 + 23.
б) Предположим, что такое число существует. Тогда если число S(n) чётное, то число K(n) = 3S(n) + 23 нечётное. Если же число S(n) нечётное, то число K(n) = 3S(n) + 23 чётное. С другой стороны, любая цифра и её квадрат имеют одинаковую чётность (то есть чётны или нечётны одновременно). Значит, S(n) и K(n) также имеют одинаковую чётность. Пришли к противоречию.
в) Пусть n — искомое число, m — количество всех девяток в десятичной записи числа n. Тогда сумма всех отличных от девятки цифр числа n равна
Следовательно, m ≥ 10.
Поскольку искомое число n является наименьшим натуральным из удовлетворяющих равенству K(n) = 8S(n) + 83, среди его цифр нет нулей (иначе их можно было бы вычеркнуть) и все его цифры расположены по возрастанию (иначе перестановкой цифр n можно было бы уменьшить). Значит, все девятки в десятичной записи числа n стоят в конце.
Из равенства K(n) = 8S(n) + 83 следует, что либо S(n), либо K(n) не делится на 9 и в числе n есть отличные от девяток цифры. Поэтому n ≥ 19 999 999 999. При этом K(19 999 999 999) = 811 = 8 ∙ 91 + 83 = 8S(19 999 999 999) + 83. Значит, число n = 19 999 999 999 и есть искомое.
Ответ: а) да; б) нет; в) 19 999 999 999.