Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 505741

Целые числа от 1 до n записаны в строчку. Под ними записаны те же числа в другом порядке. Может ли случиться так, что сумма каждого числа и записанного под ним есть точный квадрат

а) при n = 9,

б) при n = 11,

в) при n = 1996.

Спрятать решение

Решение.

а) Сумма числа 9 и числа, записанного под ним, заключена между 10 и 18. Так как на этом отрезке есть только один точный квадрат, под числом 9 должно быть записано число 7. Аналогично, число 7 должно быть записано над числом 9. Также проверяется, что под числами 4, 5 и 6 должны быть записаны числа 5, 4 и 3 соответственно. Теперь уже нетрудно получить ответ:

 

123456789
826543917

 

б) Нетрудно видеть, что под числом 11 может быть записано только число 5, но под числом 4 тоже может быть записано только число 5. Противоречие.

в) Идея состоит в том, чтобы свести задачу к аналогичной задаче для меньшего n. Запишем под числом k число 2025 — k для всех k = 29, 30, ..., 1996. Тогда сумма чисел в каждом столбце, начиная с 29-го, равна 452, а числа от 1 до 28 остались «неиспользованными». Значит, задача сводится к случаю n = 28.

Далее под числами k = 21, 22, ..., 28 запишем числа 49 — k. Задача свелась к n = 20. Затем под числами k = 16, 17, 18, 19, 20 запишем числа 36 — k. Задача свелась к случаю n = 15 и, наконец, каждому k = 1, 2, ..., 15 поставим в соответствие число 16 − k.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.2
Верно получен один из следующий результатов:

— обоснованное решение в п. а;

— пример в п. б;

— искомая оценка в п. в;

— пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл4
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 64.
Классификатор алгебры: Последовательности и прогрессии