а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку [−2; 3].

Диа­метр ос­но­ва­ния ци­лин­дра равен 26, об­ра­зу­ю­щая ци­лин­дра равна 21. Плос­кость α пе­ре­се­ка­ет его ос­но­ва­ния по хор­дам длины 24 и 10. Пусть М и N  — се­ре­ди­ны этих хорд, P  — точка пе­ре­се­че­ния пря­мой MN с осью ци­лин­дра.

а)  До­ка­жи­те, что рас­сто­я­ния от точки Р до плос­ко­стей ос­но­ва­ния ци­лин­дра от­но­сят­ся как 5 : 12.

б)  Най­ди­те тан­генс угла между плос­ко­стью α и плос­ко­стью ос­но­ва­ния ци­лин­дра.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Стро­и­тель­ство но­во­го за­во­да стоит 350 млн руб. За­тра­ты на про­из­вод­ство x тыс. еди­ниц про­дук­ции на этом за­во­де равны  млн руб. в год. Если про­дук­цию за­во­да про­да­вать по цене p тыс. руб. за еди­ни­цу, то при­быль фирмы (в млн руб.) за один год со­ста­вит Когда завод будет по­стро­ен, фирма каж­дый год будет вы­пус­кать про­дук­цию в таком ко­ли­че­стве, чтобы при­быль была наи­боль­шей. В пер­вый год после по­строй­ки за­во­да цена про­дук­ции p  =  9 тыс. руб. за еди­ни­цу. Каж­дый сле­ду­ю­щий год цена про­дук­ции будет уве­ли­чи­вать­ся на 1 тыс. руб. за еди­ни­цу. За сколь­ко лет оку­пит­ся стро­и­тель­ство за­во­да?

Окруж­ность, впи­сан­ная в рав­но­бед­рен­ную тра­пе­цию ABCD, ка­са­ет­ся бо­ко­вых сто­рон AB и CD в точ­ках M и N со­от­вет­ствен­но. От­ре­зок AN пе­ре­се­ка­ет окруж­ность в точке K, а луч MK пе­ре­се­ка­ет ос­но­ва­ние AD в точке L.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник AKL по­до­бен тре­уголь­ни­ку MAL.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние AL : LD.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет хотя бы один ко­рень.

Число S та­ко­во, что для лю­бо­го пред­став­ле­ния S в виде суммы по­ло­жи­тель­ных сла­га­е­мых, каж­дое из ко­то­рых не пре­вос­хо­дит 1, эти сла­га­е­мые можно раз­де­лить на две груп­пы так, что каж­дое сла­га­е­мое по­па­да­ет толь­ко в одну груп­пу и сумма сла­га­е­мых в каж­дой груп­пе не пре­вос­хо­дит 19.

а)  Может ли число S быть рав­ным 38?

б)  Может ли число S быть боль­ше 37,05?

в)  Най­ди­те мак­си­маль­но воз­мож­ное зна­че­ние S.