Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 19 № 562763
i

В по­сле­до­ва­тель­но­сти из 80 целых чисел каж­дое число (кроме пер­во­го и по­след­не­го) боль­ше сред­не­го ариф­ме­ти­че­ско­го со­сед­них чисел. Пер­вый и по­след­ний члены по­сле­до­ва­тель­но­сти равны 0.

а)  Может ли вто­рой член такой по­сле­до­ва­тель­но­сти быть от­ри­ца­тель­ным?

б)  Может ли вто­рой член такой по­сле­до­ва­тель­но­сти быть рав­ным 20?

в)  Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние вто­ро­го члена такой по­сле­до­ва­тель­но­сти.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

За­ме­тим, что если b боль­ше дробь: чис­ли­тель: a плюс c, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , то 2b боль­ше a плюс c, а тогда b минус a боль­ше c минус b. Итак, если в по­сле­до­ва­тель­но­сти каж­дое число, кроме пер­во­го и по­след­не­го, боль­ше сред­не­го ариф­ме­ти­че­ско­го со­сед­них чисел, то по­сле­до­ва­тель­ность раз­но­стей со­сед­них чле­нов убы­ва­ет  — это не­об­хо­ди­мое и до­ста­точ­ное усло­вие.

а)  Если раз­ность вто­ро­го и пер­во­го чле­нов от­ри­ца­тель­на, то и все осталь­ные раз­но­сти тоже от­ри­ца­тель­ны. Тогда каж­дый сле­ду­ю­щий член мень­ше преды­ду­ще­го и по­то­му они все от­ри­ца­тель­ны. По­это­му по­след­ний член не может быть равен нулю.

б)  По­сколь­ку a_1 = 0, имеем:

0 = a_80 =
= левая круг­лая скоб­ка a_2 минус a_1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс левая круг­лая скоб­ка a_3 минус a_2 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс \ldots плюс левая круг­лая скоб­ка a_79 минус a_78 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс левая круг­лая скоб­ка a_80 минус a_79 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно левая круг­лая скоб­ка a_2 минус a_1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс левая круг­лая скоб­ка a_2 минус a_1 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 1 плюс левая круг­лая скоб­ка a_2 минус a_1 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 2 плюс \ldots плюс левая круг­лая скоб­ка a_2 минус a_1 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 78 =
= 79 левая круг­лая скоб­ка a_2 минус a_1 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 79 умно­жить на 39,

от­ку­да a_2 = a_2 минус a_1 боль­ше или равно 39 и не может рав­нять­ся 20.

в)  При­ве­дем при­мер по­сле­до­ва­тель­но­сти {an}, для ко­то­рой a_2 = 39  — мень­ше быть не может по до­ка­зан­но­му в преды­ду­щем пунк­те. В ней: a_1 = 0, a_2 = 39 и для всех n таких, что 2 мень­ше или равно n мень­ше или равно 80, член an равен сумме пер­вых (n–1)-⁠го чле­нов по­сле­до­ва­тель­но­сти 39, 38, 37, \ldots, минус 39, то есть по­сле­до­ва­тель­ность имеет вид 0, 39, 77, 114, \ldots Тогда усло­вие за­да­чи вы­пол­не­но: по­сле­до­ва­тель­ность раз­но­стей со­сед­них чле­нов вы­бра­на нами убы­ва­ю­щей.

 

Ответ: а)  нет; б)  нет; в)  39.

 

При­ме­ча­ние.

Ре­ко­мен­ду­ем срав­нить эту за­да­чу с за­да­ни­ем 514525 ос­нов­ной волны ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке 2016 года.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Верно по­лу­че­ны все пе­ре­чис­лен­ные (см. кри­те­рий на 1 балл) ре­зуль­та­ты.4
Верно по­лу­че­ны три из пе­ре­чис­лен­ных (см. кри­те­рий на 1 балл) ре­зуль­та­тов.3
Верно по­лу­че­ны два из пе­ре­чис­лен­ных (см. кри­те­рий на 1 балл) ре­зуль­та­тов.2
Верно по­лу­чен один из сле­ду­ю­щих ре­зуль­та­тов:

— обос­но­ван­ное ре­ше­ние в п. а;

— при­мер в п. б;

— ис­ко­мая оцен­ка в п. в;

— при­мер в п. в, обес­пе­чи­ва­ю­щий точ­ность преды­ду­щей оцен­ки.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл4
Источники:
Классификатор алгебры: По­сле­до­ва­тель­но­сти и про­грес­сии, Числа и их свой­ства
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025