Конечная возрастающая последовательность 
состоит из 
натуральных чисел, причём при всех натуральных 
выполнено равенство 
а) Приведите пример такой последовательности при n = 4.
б) Может ли в такой последовательности при некотором выполняться равенство 
в) Какое наименьшее значение может принимать a1, если an = 667?
а) Например, 9, 18, 24, 28.
б) Поскольку 
числа 
и ak дают одинаковые остатки при делении на 3. Значит, все члены последовательности (кроме, может быть, последнего — он не нужен для дальнейших вычислений) дают одинаковые остатки от деления на 3. Будем сразу считать, что если такое возможно, то an — последний член последовательности (выкинем остальные). Тогда 
поэтому и оно дает тот же остаток при делении на 3.
Заметим, что если вычесть из всех членов последовательности одно и то же число, то соотношение эквивалентное соотношению из условия, останется верным и для новой последовательности, а соотношение 
будет выполнено, если было выполнено ранее. Вычтем тогда из всех членов последовательности 
Теперь мы можем считать, что 
а остальные члены последовательности — натуральные числа. Значит, они все делятся будет выполнено, если было выполнено ранее. Значит, все ее члены опять делятся
в) Обозначим 
Поскольку 
то 
Обозначая 
имеем 
Далее, 
поэтому b делится на 
Теперь разберем несколько случаев.
1. 
тогда 
откуда 
При 
имеем 
и последовательность имеет вид 2, 401, 667. Осталось выяснить, может ли быть 
2. 
тогда 
3. 
тогда 
4. 
тогда 
5. 
тогда 
6. 
тогда b кратно 729 и 
Ответ: а) 9, 18, 24, 28; б) нет; в) 2.
Примечание.
Использованная при решении пункта б) идея носит название метода бесконечного спуска.
Здравствуйте!
В решении пункта в) задачи при переборе различных значений k значение a_3 находится только в первом пункте: во втором это уже a_4, в третьем — a_5 и т. д.
Помимо этого важно отметить, что в задании не сказано, что последовательность ограничена возможностью существования следующего члена, а значит, последовательность может быть ограничена в любой момент. Тогда в описанном переборе значений k нужно рассматривать все члены последовательности от 3-го до k+2-го.
Нумерацию поправили, спасибо. Что и почему нужно изменить в переборе не поняли.