Ре­ше­ние.

а)  Под­хо­дя­щим при­ме­ром яв­ля­ет­ся про­грес­сия с пер­вым чле­ном 50 и раз­но­стью 50. Среди пер­вых семи её чле­нов (50, 100, 150, 200, 250, 300, 350) ровно три де­лят­ся на 100.

б)  Обо­зна­чим через d раз­ность ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии a₁, a₂, ..., a_n, ... . Из усло­вия сле­ду­ет, что d  — на­ту­раль­ное число. Пусть m и n  — на­ту­раль­ные числа, m > n, НОД (d, 100) обо­зна­ча­ет наи­боль­ший общий де­ли­тель чисел d и 100. Имеем

Сле­до­ва­тель­но, раз­ность де­лит­ся на 100 тогда и толь­ко тогда, когда раз­ность m − n де­лит­ся на Зна­чит, если среди чле­нов ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии a₁, a₂, ..., a_n, ... есть крат­ные 100, то это члены с но­ме­ра­ми вида kp + q, где q  — номер пер­во­го члена, крат­но­го 100 а p про­бе­га­ет все не­от­ри­ца­тель­ные целые числа. По­это­му среди любых k по­сле­до­ва­тель­ных чле­нов про­грес­сии a₁, a₂, ..., a_n, ... ровно один будет де­лить­ся на 100.

Таким об­ра­зом, если l  — ко­ли­че­ство чле­нов про­грес­сии де­ля­щих­ся на 100 среди m по­сле­до­ва­тель­ных чле­нов, то для не­ко­то­ро­го це­ло­го k долж­но вы­пол­нять­ся не­ра­вен­ство то есть в нашем слу­чае:

По­сле­дяя си­сте­ма не имеет целых ре­ше­ний, зна­чит, не су­ще­ству­ет такой про­грес­сии, в ко­то­рой среди чисел a₁, a₂, ..., a₄₉ ровно 11 чисел де­лят­ся на 100.

в)  Обо­зна­чим через [x] целую часть числа x  — наи­мень­шее целое число, не пре­вос­хо­дя­щее x. По до­ка­зан­но­му в пунк­те б) среди любых k по­сле­до­ва­тель­ных чле­нов про­грес­сии a₁, a₂, ..., a_n, ... ровно один будет де­лить­ся на 100, где d  — ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии.

Зна­чит, среди чисел a₁, a₂, ..., a_2n, крат­ны­ми 100 будут не более чисел. Ана­ло­гич­но среди чисел a_2n + 1, a_2n + 2, ..., a_5n крат­ны­ми 100 будут не менее чисел. Не­ра­вен­ство вы­пол­не­но тогда и толь­ко тогда, когда Пусть это ра­вен­ство вы­пол­не­но. Тогда раз­ность между чис­ла­ми и мень­ше 1. По­лу­ча­ем, что и Зна­чит, и По­сколь­ку число k не пре­вос­хо­дит 100, от­сю­да сле­ду­ет, что

Рас­смот­рим про­грес­сию с пер­вым чле­ном 69 и раз­но­стью 1. Тогда среди чисел a₁, a₂, ..., a₁₃₂ ровно два де­лят­ся на 100 (a₃₂  =  100 и a₁₃₂  =  200). Среди чисел a₁₃₃, a₁₃₄, ..., a₃₃₀ ровно одно де­лит­ся на 100 (a₂₃₂  =  300). Этот при­мер по­ка­зы­ва­ет, что n может рав­нять­ся 66.

 

Ответ: а)  да, на­при­мер про­грес­сия 50, 100, 150, 200, 250, 300, 350, ...; б)  нет; в)  66.