а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Дан пря­мо­уголь­ный па­рал­ле­ле­пи­пед ABCDA₁B₁C₁D₁, O  — центр грани A₁B₁C₁D₁. Плос­ко­сти (AOB) и (BOC)  — пря­мо­уголь­ни­ки, и сто­ро­ны AB и CD яв­ля­ют­ся их мень­ши­ми сто­ро­на­ми. AB и BC в 2 раза мень­ше со­от­вет­ствен­ных боль­ших сто­рон се­че­ний.

а)  До­ка­жи­те, что ABCD  — квад­рат.

б)  Най­ди­те угол между CA₁ и (BOC).

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

За­ви­си­мость ко­ли­че­ства Q (в шт., куп­лен­но­го у фирмы то­ва­ра от цены P (в руб. за шт.) вы­ра­жа­ет­ся фор­му­лой За­тра­ты на про­из­вод­ство Q еди­ниц то­ва­ра со­став­ля­ют руб­лей. Кроме за­трат на про­из­вод­ство, фирма долж­на пла­тить налог t руб­лей с каж­дой про­из­ведённой еди­ни­цы то­ва­ра. Таким об­ра­зом, при­быль фирмы со­став­ля­ет руб­лей, а общая сумма на­ло­гов, со­бран­ных го­су­дар­ством, равна tQ руб­лей.

Фирма про­из­во­дит такое ко­ли­че­ство то­ва­ра, при ко­то­ром её при­быль мак­си­маль­на. При каком зна­че­нии t общая сумма на­ло­гов, со­бран­ных го­су­дар­ством, будет мак­си­маль­ной?

В ромбе ABCD точки K и L  — се­ре­ди­ны сто­рон BC и CD со­от­вет­ствен­но. Пря­мые AK и AL пе­ре­се­ка­ют диа­го­наль BD в точ­ках P и Q со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что S_APQ  =  S_BKP + S_DLQ.

б)  Из­вест­но, что в пя­ти­уголь­ник CKPQL можно впи­сать окруж­ность. Най­ди­те ее ра­ди­ус, если сто­ро­на ромба ABCD равна 

Най­ди­те все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма урав­не­ний

имеет ровно два раз­лич­ных ре­ше­ния.

На доске на­пи­са­но 30 чисел: де­сять «5», де­сять «4» и де­сять «3». Эти числа раз­би­ва­ют на две груп­пы, в каж­дой из ко­то­рых есть хотя бы одно число. Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское чисел в пер­вой груп­пе равно А, сред­нее ариф­ме­ти­че­ское чисел во вто­рой груп­пе равно В. (Для груп­пы из един­ствен­но­го числа сред­нее ариф­ме­ти­че­ское равно этому числу.)

а)  При­ве­ди­те при­мер раз­би­е­ния ис­ход­ных чисел на две груп­пы, при ко­то­ром сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех чисел мень­ше

б)  До­ка­жи­те, что если раз­бить ис­ход­ные числа на две груп­пы по 15 чисел, то сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех чисел будет равно

в)  Най­ди­те наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние вы­ра­же­ния