Призёрами го­род­ской олим­пи­а­ды по ма­те­ма­ти­ке стали 35 уче­ни­ков, что со­ста­ви­ло 25% от числа участ­ни­ков. Сколь­ко че­ло­век участ­во­ва­ло в олим­пиа­де?

На диа­грам­ме по­ка­за­на сред­не­ме­сяч­ная тем­пе­ра­ту­ра воз­ду­ха в Санкт-Пе­тер­бур­ге за каж­дый месяц 1999 года. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ют­ся ме­ся­цы, по вер­ти­ка­ли  — тем­пе­ра­ту­ра в гра­ду­сах Цель­сия. Опре­де­ли­те по диа­грам­ме раз­ность между наи­боль­шей и наи­мень­шей сред­не­ме­сяч­ной тем­пе­ра­ту­рой в 1999 году. Ответ дайте в гра­ду­сах Цель­сия.

Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квад­рат­ных сан­ти­мет­рах.

В груп­пе ту­ри­стов 6 че­ло­век. С по­мо­щью жре­бия они вы­би­ра­ют трёх че­ло­век, ко­то­рые долж­ны идти в село в ма­га­зин за про­дук­та­ми. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что ту­рист К., вхо­дя­щий в со­став груп­пы, пойдёт в ма­га­зин?

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния

В тре­уголь­ни­ке ABC AD  — бис­сек­три­са, угол C равен 50°, угол CAD равен 28°. Най­ди­те угол B. Ответ дайте в гра­ду­сах.

На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции y  =  f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−2; 12). Най­ди­те сумму точек экс­тре­му­ма функ­ции f(x).

Шар впи­сан в ци­линдр. Пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти ци­лин­дра равна 6. Най­ди­те пло­щадь по­верх­но­сти шара.

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

Уста­нов­ка для де­мон­стра­ции адиа­ба­ти­че­ско­го сжа­тия пред­став­ля­ет собой сосуд с порш­нем, резко сжи­ма­ю­щим газ. При этом объём и дав­ле­ние свя­за­ны со­от­но­ше­ни­ем где и   — дав­ле­ние газа (в ат­мо­сфе­рах) в на­чаль­ном и ко­неч­ном со­сто­я­ни­ях, и   — объём газа (в лит­рах) в на­чаль­ном и ко­неч­ном со­сто­я­ни­ях. Из­на­чаль­но объём газа равен 256 л, а дав­ле­ние газа равно одной ат­мо­сфе­ре. До ка­ко­го объёма нужно сжать газ, чтобы дав­ле­ние в со­су­де стало 128 ат­мо­сфер? Ответ дайте в лит­рах.

Ве­ло­си­пе­дист вы­ехал с по­сто­ян­ной ско­ро­стью из го­ро­да А в город В, рас­сто­я­ние между ко­то­ры­ми равно 98 км. На сле­ду­ю­щий день он от­пра­вил­ся об­рат­но со ско­ро­стью на 7 км/ч боль­ше преж­ней. По до­ро­ге он сде­лал оста­нов­ку на 7 часов. В ре­зуль­та­те он за­тра­тил на об­рат­ный путь столь­ко же вре­ме­ни, сколь­ко на путь из А в В. Най­ди­те ско­рость ве­ло­си­пе­ди­ста на пути из А в В. Ответ дайте в км/ч.

Най­ди­те точку ми­ни­му­ма функ­ции

a)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В ос­но­ва­нии пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­мы ABCA₁B₁C₁ лежит тре­уголь­ник ABC. На пря­мой AA₁ от­ме­че­на точка D так, что A₁  — се­ре­ди­на AD. На пря­мой B₁C₁ от­ме­че­на точка E так, что C₁  — се­ре­ди­на B₁E.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые A₁B₁ и DE пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между пря­мы­ми AB и DE, если AB = 3, а AA₁ = 1.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

Окруж­ность с цен­тром О, по­стро­ен­ная на ка­те­те AC пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC как на диа­мет­ре, пе­ре­се­ка­ет ги­по­те­ну­зу AB в точ­ках A и D. Ка­са­тель­ная про­ве­ден­ная к этой окруж­но­сти в точке D, пе­ре­се­ка­ет катет BC в точке M.

а)  До­ка­жи­те, что BM  =  CM.

б)  Пря­мая DM пе­ре­се­ка­ет пря­мую AC в точке P, пря­мая OM пе­ре­се­ка­ет пря­мую BP в точке K. Най­ди­те BK : KP, если

15 де­каб­ря 2024 года пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на 17 ме­ся­цев. Усло­вия воз­вра­та та­ко­вы:

  — 1-го числа каж­до­го ме­ся­ца долг воз­рас­та­ет на 3% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

  — со 2-го по 14-е число каж­до­го ме­ся­ца не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

  — 15-го числа каж­до­го ме­ся­ца с 1-го по 16-й (с ян­ва­ря 2025 года по ап­рель 2026 года вклю­чи­тель­но) долг дол­жен быть на одну и ту же сумму мень­ше долга на 15-е число преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

  — 15 ап­ре­ля 2026 года долг со­ста­вит 400 тысяч руб­лей;

  — 15 мая 2026 года долг дол­жен быть пол­но­стью по­га­шен.

Какую сумму пла­ни­ру­ет­ся взять в кре­дит, если общая сумма вы­плат после пол­но­го его по­га­ше­ния со­ста­вит 1608 тысяч руб­лей?

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет хотя бы два ре­ше­ния.

Пер­вый член ко­неч­ной гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии, со­сто­я­щей из трех­знач­ных на­ту­раль­ных чисел, равен 272. Из­вест­но, что в про­грес­сии не мень­ше трех чисел.

а)  Может ли число 425 яв­лять­ся чле­ном такой про­грес­сии?

б)  Может ли число 680 яв­лять­ся чле­ном такой про­грес­сии?

в)  Какое наи­боль­шее число может яв­лять­ся чле­ном такой про­грес­сии?