а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­ды SABCD с ос­но­ва­ни­ем ABCD равна 108, а пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти этой пи­ра­ми­ды 144.

а)  До­ка­жи­те, что угол между плос­ко­стью SAC и плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через вер­ши­ну S этой пи­ра­ми­ды, се­ре­ди­ну сто­ро­ны AB и центр ос­но­ва­ния, равен 45°.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды плос­ко­стью SAC.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

Ме­ди­а­ны AA₁, BB₁, и CC₁ тре­уголь­ни­ка ABC пе­ре­се­ка­ют­ся в точке M. Точки A₂, B₂ и C₂  — се­ре­ди­ны от­рез­ков MA, MB и MC со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что пло­щадь ше­сти­уголь­ни­ка A₁B₂C₁A₂B₁C₂ вдвое мень­ше пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка ABC.

б)  Най­ди­те сумму квад­ра­тов всех сто­рон этого ше­сти­уголь­ни­ка, если из­вест­но, что AB  =  5, BC  =  8 и AC  =  10.

1 ян­ва­ря 2015 года Алек­сандр Сер­ге­е­вич взял в банке 1,1 млн руб­лей в кре­дит. Схема вы­пла­ты кре­ди­та сле­ду­ю­щая  — 1-го числа каж­до­го сле­ду­ю­ще­го ме­ся­ца банк на­чис­ля­ет 1 про­цент на остав­шу­ю­ся сумму долга (то есть уве­ли­чи­ва­ет долг на 1%), затем Алек­сандр Сер­ге­е­вич пе­ре­во­дит в банк платёж. На какое ми­ни­маль­ное ко­ли­че­ство ме­ся­цев Алек­сандр Сер­ге­е­вич может взять кре­дит, чтобы еже­ме­сяч­ные вы­пла­ты были не более 275 тыс. руб­лей?

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет корни, но ни один из них не при­над­ле­жит ин­тер­ва­лу (4; 19).

Воз­рас­та­ю­щая ко­неч­ная ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия со­сто­ит из раз­лич­ных целых не­от­ри­ца­тель­ных чисел. Ма­те­ма­тик вы­чис­лил раз­ность между квад­ра­том суммы всех чле­нов про­грес­сии и сум­мой их квад­ра­тов. Затем ма­те­ма­тик до­ба­вил к этой про­грес­сии сле­ду­ю­щий её член и снова вы­чис­лил такую же раз­ность.

а)  При­ве­ди­те при­мер такой про­грес­сии, если во вто­рой раз раз­ность ока­за­лась на 48 боль­ше, чем в пер­вый раз.

б)  Во вто­рой раз раз­ность ока­за­лась на 1440 боль­ше, чем в пер­вый раз. Могла ли про­грес­сия сна­ча­ла со­сто­ять из 12 чле­нов?

в)  Во вто­рой раз раз­ность ока­за­лась на 1440 боль­ше, чем в пер­вый раз. Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство чле­нов могло быть в про­грес­сии сна­ча­ла?