Си­сте­ма на­ви­га­ции самолёта ин­фор­ми­ру­ет пас­са­жи­ра о том, что полёт про­хо­дит на вы­со­те 21 000 футов. Вы­ра­зи­те вы­со­ту полёта в мет­рах. Счи­тай­те, что 1 фут равен 30,5 см.

На ри­сун­ке жир­ны­ми точ­ка­ми по­ка­за­на цена зо­ло­та, уста­нов­лен­ная Цен­тро­бан­ком РФ во все ра­бо­чие дни в ок­тяб­ре 2011 года. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ют­ся числа ме­ся­ца, по вер­ти­ка­ли  — цена зо­ло­та в руб­лях за грамм. Для на­гляд­но­сти жир­ные точки на ри­сун­ке со­еди­не­ны ли­ни­ей. Опре­де­ли­те по ри­сун­ку, сколь­ко ра­бо­чих дней из дан­но­го пе­ри­о­да цена зо­ло­та была равна 1678 руб­лям за грамм.

На клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1 × 1 изоб­ражён ост­рый угол. Най­ди­те тан­генс этого угла.

Ме­ха­ни­че­ские часы с две­на­дца­ти­ча­со­вым ци­фер­бла­том в какой-то мо­мент сло­ма­лись и пе­ре­ста­ли идти. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что ча­со­вая стрел­ка оста­но­ви­лась, до­стиг­нув от­мет­ки 12, но не дойдя до от­мет­ки 3.

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния

Ос­но­ва­ния тра­пе­ции равны 5 и 9. Най­ди­те боль­ший из от­рез­ков, на ко­то­рые делит сред­нюю линию этой тра­пе­ции одна из ее диа­го­на­лей.

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции y  =  f(x), опре­делённой на ин­тер­ва­ле (−4; 4). Най­ди­те ко­рень урав­не­ния f '(x)  =  0.

Объём куба равен 24. Най­ди­те объём тре­уголь­ной приз­мы, от­се­ка­е­мой от куба плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через се­ре­ди­ны двух рёбер, вы­хо­дя­щих из одной вер­ши­ны, и па­рал­лель­ной тре­тье­му ребру, вы­хо­дя­ще­му из этой же вер­ши­ны.

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

Ко­эф­фи­ци­ент по­лез­но­го дей­ствия (КПД) не­ко­то­ро­го дви­га­те­ля опре­де­ля­ет­ся фор­му­лой где − тем­пе­ра­ту­ра на­гре­ва­те­ля (в гра­ду­сах Кель­ви­на), − тем­пе­ра­ту­ра хо­ло­диль­ни­ка (в гра­ду­сах Кель­ви­на). При какой тем­пе­ра­ту­ре на­гре­ва­те­ля КПД этого дви­га­те­ля будет если тем­пе­ра­ту­ра хо­ло­диль­ни­ка К? Ответ вы­ра­зи­те в гра­ду­сах Кель­ви­на.

Рас­сто­я­ние между при­ста­ня­ми A и B равно 165 км. Из A в B по те­че­нию реки от­пра­вил­ся плот, а через 1 час вслед за ним от­пра­ви­лась яхта, ко­то­рая, при­быв в пункт B, тот­час по­вер­ну­ла об­рат­но и воз­вра­ти­лась в A. К этому вре­ме­ни плот про­плыл 92 км. Най­ди­те ско­рость яхты в не­по­движ­ной воде, если ско­рость те­че­ния реки равна 4 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке

а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Точка E лежит на вы­со­те SO, а точка F  — на бо­ко­вом ребре SC пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­ды SABCD, причём SE : EO  =  SF : FC  =  2 : 1.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость BEF пе­ре­се­ка­ет ребро SD в его се­ре­ди­не.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды плос­ко­стью BEF, если AB  =  8, SO  =  14.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

Вы­со­ты BB₁ и CC₁ ост­ро­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC пе­ре­се­ка­ют­ся в точке H. От­ре­зок AP  — диа­метр окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABC.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая HP пе­ре­се­ка­ет от­ре­зок BC в его се­ре­ди­не.

б)  Луч PH вто­рич­но пе­ре­се­ка­ет окруж­ность, опи­сан­ную около тре­уголь­ни­ка ABC, в точке M. Най­ди­те длину от­рез­ка MC₁, если рас­сто­я­ние от цен­тра этой окруж­но­сти до пря­мой BC равно 4, ∠BPH  =  120°.

15 ян­ва­ря пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на шесть ме­ся­цев в раз­ме­ре 1 млн руб­лей. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

—  1-⁠го числа каж­до­го ме­ся­ца долг уве­ли­чи­ва­ет­ся на r про­цен­тов по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го ме­ся­ца, где r  — целое число;

—  со 2-⁠го по 14-⁠е число каж­до­го ме­ся­ца не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

—  15-⁠го числа каж­до­го ме­ся­ца долг дол­жен со­став­лять не­ко­то­рую сумму в со­от­вет­ствии со сле­ду­ю­щей таб­ли­цей.

Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние r, при ко­то­ром общая сумма вы­плат будет мень­ше 1,25 млн руб­лей.

Из­вест­но, что зна­че­ние па­ра­мет­ра а та­ко­во, что си­сте­ма урав­не­ний

В по­сле­до­ва­тель­но­сти из 80 целых чисел каж­дое число (кроме пер­во­го и по­след­не­го) боль­ше сред­не­го ариф­ме­ти­че­ско­го со­сед­них чисел. Пер­вый и по­след­ний члены по­сле­до­ва­тель­но­сти равны 0.

а)  Может ли вто­рой член такой по­сле­до­ва­тель­но­сти быть от­ри­ца­тель­ным?

б)  Может ли вто­рой член такой по­сле­до­ва­тель­но­сти быть рав­ным 20?

в)  Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние вто­ро­го члена такой по­сле­до­ва­тель­но­сти.