Рассматриваются непостоянные бесконечные арифметические прогрессии a1, a2, ..., an, ..., состоящие из натуральных чисел. Пусть Sn — сумма первых n членов, S1 = a1.
а) Существует ли такая арифметическая прогрессия, что S6 = 1980?
б) Существует ли такая арифметическая прогрессия, что для некоторого натурального числа n имеют место равенства Sn = 350 и Sn + 2 = 625?
в) Сколько существует таких натуральных чисел n, для которых существует такая арифметическая прогрессия, что Sn = 625?
Обозначим первый член прогрессии a, разность d.
а) По формуле для суммы прогрессии получим:
Это возможно, например, при a = 300, d = 12.
б) По формуле для суммы прогрессии получим 
откуда 
то есть число 700 делится на n. Аналогично получим:
то есть 1250 делится на n + 2. Выпишем все делители числа 700:
n = 1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 25, 28, 35, 50, 70, 100, 140, 175, 350, 700.
Увеличим их на 2, получим
n = 3, 4, 6, 7, 9, 12, 16, 22, 27, 30, 37, 52, 72, 102, 142, 177, 352, 702.
Из них 1250 не делится ни на одно число, поэтому такое невозможно.
в) Рассмотрим уравнение 
Выпишем все делители числа 
:
n = 1, 2, 5, 10, 25, 50, 125, 250, 625, 1250.
Кроме того, при 
имеем
поэтому так много членов в прогрессии быть не может. Разберем остальные случаи и приведем примеры прогрессий там, где они есть:
n = 1: да, прогрессия 625;
n = 2: да, прогрессия 312, 313;
n = 5: да, прогрессия 123, 124, 125, 126, 127;
n = 10: да, прогрессия 58, 59, ..., 67;
n = 25: да, прогрессия 13, 14, ..., 37.
Ответ: а) да; б) нет; в) 1, 2, 5, 10, 25.
Пункт б) можно обосновать иначе.
Возьмем самую «маленькую прогрессию», у которой a1 = 1 и d = 1. Чтобы сумма Sn не превышала 350, число n не должно превышать 25. Поскольку
то n может быть лишь комбинацией этих простых сомножителей, а потому n может быть равно лишь числам 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 25. Далее, 
Но ни при каком значении n не получается, чтобы n + 2 можно было составить из сомножителей, на которые раскладывается число 1250.