а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Ос­но­ва­ни­ем тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды SABC яв­ля­ет­ся рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник АВС со сто­ро­ной  Бо­ко­вое ребро SC пер­пен­ди­ку­ляр­но плос­ко­сти ос­но­ва­ния и равно 2. Точки E и D  — се­ре­ди­ны ребер ВС и AB со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что угол между SE и CD равен 45°.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между пря­мы­ми SE и CD.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

12-⁠го ян­ва­ря в банке пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит 1 мил­ли­он руб­лей на 6 ме­ся­цев. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

— 1-⁠го числа каж­до­го ме­ся­ца долг уве­ли­чи­ва­ет­ся на целое число r про­цен­тов по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

— со 2-⁠го по 11-⁠е число каж­до­го ме­ся­ца не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

— 12-⁠го числа каж­до­го ме­ся­ца долг дол­жен со­став­лять не­ко­то­рую часть взя­то­го кре­ди­та в со­от­вет­ствии с таб­ли­цей.

Най­ди­те наи­боль­шее целое зна­че­ние r, при ко­то­ром общая сумма вы­плат будет со­став­лять менее 2,13 мил­ли­о­на руб­лей.

Окруж­ность про­хо­дит через вер­ши­ны C и D ромба ABCD и ка­са­ет­ся сто­ро­ны AB, а также пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ны AD и BC в точ­ках M и N со­от­вет­ствен­но, при­чем BN : CN  =  4 : 5.

а)  До­ка­жи­те, что AM : MD  =  1 : 8.

б)  Най­ди­те CM, если сто­ро­на ромба равна 9.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет ровно два раз­лич­ных корня.

Бес­ко­неч­ная воз­рас­та­ю­щая ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия {a_n} со­сто­ит из на­ту­раль­ных чисел.

а)  Может ли при всех чет­ных n по­след­ние цифры эле­мен­тов a_n быть оди­на­ко­вы­ми?

б)  У эле­мен­тов a₁₇ и a₂₀ по­след­ние цифры раз­ные, а у эле­мен­тов a₂₇ и a₆₂ по­след­ние цифры оди­на­ко­вые. У ка­ко­го сле­ду­ю­ще­го эле­мен­та a_n при по­след­няя цифра такая же, как и у a₃₈?

в)  Пер­вый член про­грес­сии Две по­след­ние цифры эле­мен­та a₁₂ сов­па­да­ют с двумя по­след­ни­ми циф­ра­ми эле­мен­та a_n впер­вые при Есть ли в про­грес­сии члены, яв­ля­ю­щи­е­ся квад­ра­та­ми на­ту­раль­ных чисел?