Даны n раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел, со­став­ля­ю­щих ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию

а)  Может ли сумма всех дан­ных чисел быть рав­ной 14?

б)  Ка­ко­во наи­боль­шее зна­че­ние n, если сумма всех дан­ных чисел мень­ше 900?

в)  Най­ди­те все воз­мож­ные зна­че­ния n, если сумма всех дан­ных чисел равна 123.

Каж­дое из чисел a₁, a₂, …, a₃₅₀ равно 1, 2, 3 или 4. Обо­зна­чим

Из­вест­но, что S₁  =  513.

а)  Най­ди­те S₄, если еще из­вест­но, что S₂  =  1097 и S₃  =  3243.

б)  Может ли S₄  =  4547?

в)  Пусть S₄  =  4745. Най­ди­те все зна­че­ния, ко­то­рые может при­ни­мать S₂.

В стро­ку под­ряд на­пи­са­но 1000 чисел. Под каж­дым чис­лом a пер­вой стро­ки на­пи­шем число, ука­зы­ва­ю­щее, сколь­ко раз число a встре­ча­ет­ся в пер­вой стро­ке. Из по­лу­чен­ной таким об­ра­зом вто­рой стро­ки ана­ло­гич­но по­лу­ча­ем тре­тью: под каж­дым чис­лом вто­рой стро­ки пишем, сколь­ко раз оно встре­ча­ет­ся во вто­рой стро­ке. Затем из тре­тьей стро­ки так же по­лу­ча­ем четвёртую, из четвёртой  — пятую и так далее.

а)  До­ка­жи­те, что не­ко­то­рая строч­ка сов­па­да­ет со сле­ду­ю­щей.

б)  До­ка­жи­те, что 11‐⁠я стро­ка сов­па­да­ет с 12‐⁠й.

в)  При­ве­ди­те при­мер такой пер­во­на­чаль­ной строч­ки, для ко­то­рой 10‐⁠я стро­ка не сов­па­да­ет с 11‐⁠й.

Можно ли из по­сле­до­ва­тель­но­сти 1, 1/2, 1/3, 1/4,… вы­де­лить ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию

а)  дли­ной 4;

б)  дли­ной 5;

в)  дли­ной k, где k  — любое на­ту­раль­ное число?

Даны две по­сле­до­ва­тель­но­сти: 2, 4, 8, 16, 14, 10, 2 и 3, 6, 12. В каж­дой из них каж­дое число по­лу­че­но из преды­ду­ще­го по од­но­му и тому же за­ко­ну.

а)  Най­ди­те этот закон.

б)  Най­ди­те все на­ту­раль­ные числа, пе­ре­хо­дя­щие сами в себя (по этому за­ко­ну).

в)  До­ка­жи­те, что число 21991 после не­сколь­ких пе­ре­хо­дов ста­нет од­но­знач­ным.

В по­сле­до­ва­тель­но­сти 19752... каж­дая цифра, на­чи­ная с пятой, равна по­след­ней цифре суммы преды­ду­щих четырёх цифр. Встре­тит­ся ли в этой по­сле­до­ва­тель­но­сти:

а)  набор цифр 1234; 3269;

б)  вто­рич­но набор 1975;

в)  набор 8197?

Целые числа от 1 до n за­пи­са­ны в строч­ку. Под ними за­пи­са­ны те же числа в дру­гом по­ряд­ке. Может ли слу­чить­ся так, что сумма каж­до­го числа и за­пи­сан­но­го под ним есть точ­ный квад­рат

а)  при n  =  9,

б)  при n  =  11,

в)  при n  =  1996.

Рас­смат­ри­ва­ет­ся по­сле­до­ва­тель­ность 1, 1/⁠2, 1/⁠3, 1/⁠4, 1/⁠5, 1/⁠6, 1/⁠7, …

а)  Су­ще­ству­ет ли ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия длины 5 со­став­лен­ная из чле­нов этой по­сле­до­ва­тель­но­сти?

б)  Можно ли со­ста­вить ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию бес­ко­неч­ной длины из этих чисел?

в)  Может ли в про­грес­сии быть 2013 чле­нов?

Можно ли при­ве­сти при­мер пяти раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел, про­из­ве­де­ние ко­то­рых равно 792 и

а)  пять;

б)  че­ты­ре;

в)  три

из них об­ра­зу­ют гео­мет­ри­че­скую про­грес­сию?

Воз­рас­та­ю­щая ко­неч­ная ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия со­сто­ит из раз­лич­ных целых не­от­ри­ца­тель­ных чисел. Ма­те­ма­тик вы­чис­лил раз­ность между квад­ра­том суммы всех чле­нов про­грес­сии и сум­мой их квад­ра­тов. Затем ма­те­ма­тик до­ба­вил к этой про­грес­сии сле­ду­ю­щий её член и снова вы­чис­лил такую же раз­ность.

а)  При­ве­ди­те при­мер такой про­грес­сии, если во вто­рой раз раз­ность ока­за­лась на 48 боль­ше, чем в пер­вый раз.

б)  Во вто­рой раз раз­ность ока­за­лась на 1440 боль­ше, чем в пер­вый раз. Могла ли про­грес­сия сна­ча­ла со­сто­ять из 12 чле­нов?

в)  Во вто­рой раз раз­ность ока­за­лась на 1440 боль­ше, чем в пер­вый раз. Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство чле­нов могло быть в про­грес­сии сна­ча­ла?

Воз­рас­та­ю­щая ко­неч­ная ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия со­сто­ит из раз­лич­ных целых не­от­ри­ца­тель­ных чисел. Ма­те­ма­тик вы­чис­лил раз­ность между квад­ра­том суммы всех чле­нов про­грес­сии и сум­мой их квад­ра­тов. Затем ма­те­ма­тик до­ба­вил к этой про­грес­сии сле­ду­ю­щий её член и снова вы­чис­лил такую же раз­ность.

а)  При­ве­ди­те при­мер такой про­грес­сии, если во вто­рой раз раз­ность ока­за­лась на 40 боль­ше, чем в пер­вый раз.

б)  Во вто­рой раз раз­ность ока­за­лась на 1768 боль­ше, чем в пер­вый раз. Могла ли про­грес­сия сна­ча­ла со­сто­ять из 13 чле­нов?

в)  Во вто­рой раз раз­ность ока­за­лась на 1768 боль­ше, чем в пер­вый раз. Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство чле­нов могло быть в про­грес­сии сна­ча­ла?

Даны n раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел, со­став­ля­ю­щих ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию (n ≥ 3).

а)  Может ли сумма всех дан­ных чисел быть рав­ной 16?

б)  Ка­ко­во наи­боль­шее зна­че­ние n, если сумма всех дан­ных чисел мень­ше 900?

в)  Най­ди­те все воз­мож­ные зна­че­ние n, если сумма всех дан­ных чисел равна 235.

Даны n раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел, со­став­ля­ю­щих ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию

а)  Может ли сумма всех дан­ных чисел быть рав­ной 13?

б)  Ка­ко­во наи­боль­шее зна­че­ние n, если сумма всех дан­ных чисел мень­ше 500?

в)  Най­ди­те все воз­мож­ные зна­че­ние n, если сумма всех дан­ных чисел равна 57.

По­сле­до­ва­тель­ность a₁, a₂, ..., a_n, ... со­сто­ит из на­ту­раль­ных чисел, причём при всех на­ту­раль­ных n.

а)  Может ли вы­пол­нять­ся ра­вен­ство 5a₅  =  9a₄?

б)  Может ли вы­пол­нять­ся ра­вен­ство 5a₅  =  7a₄?

в)  При каком наи­боль­шем на­ту­раль­ном n может вы­пол­нять­ся ра­вен­ство

а)  Су­ще­ству­ет ли ко­неч­ная ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия, со­сто­я­щая из пяти на­ту­раль­ных чисел, такая, что сумма наи­боль­ше­го и наи­мень­ше­го чле­нов этой про­грес­сии равна 99?

б)  Ко­неч­ная ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия со­сто­ит из шести на­ту­раль­ных чисел. Сумма наи­боль­ше­го и наи­мень­ше­го чле­нов этой про­грес­сии равна 9. Най­ди­те все числа, из ко­то­рых со­сто­ит эта про­грес­сия.

в)  Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское чле­нов ко­неч­ной ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии, со­сто­я­щей из на­ту­раль­ных чисел, равно 6,5. Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство чле­нов может быть в этой про­грес­сии?

Даны n раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел, со­став­ля­ю­щих ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию

а)  Может ли сумма всех дан­ных чисел быть рав­ной 10?

б)  Ка­ко­во наи­боль­шее зна­че­ние n, если сумма всех дан­ных чисел мень­ше 1000?

в)  Най­ди­те все воз­мож­ные зна­че­ния n, если сумма всех дан­ных чисел равна 129.

Целое число S яв­ля­ет­ся сум­мой не менее трех по­сле­до­ва­тель­ных чле­нов не­по­сто­ян­ной ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии, со­сто­я­щей из целых чисел.

а)  Может ли S рав­нять­ся 8?

б)  Может ли S рав­нять­ся 1?

в)  Най­ди­те все зна­че­ния, ко­то­рые может при­ни­мать S.

В воз­рас­та­ю­щей по­сле­до­ва­тель­но­сти на­ту­раль­ных чисел каж­дые три по­сле­до­ва­тель­ных члена об­ра­зу­ют либо ариф­ме­ти­че­скую, либо гео­мет­ри­че­скую про­грес­сию. Пер­вый член по­сле­до­ва­тель­но­сти равен 1, а по­след­ний  — 2076.

а)  может ли в по­сле­до­ва­тель­но­сти быть три члена?

б)  может ли в по­сле­до­ва­тель­но­сти быть че­ты­ре члена?

в)  может ли в по­сле­до­ва­тель­но­сти быть мень­ше 2076 чле­нов?

Число S та­ко­во, что для лю­бо­го пред­став­ле­ния S в виде суммы по­ло­жи­тель­ных сла­га­е­мых, каж­дое из ко­то­рых не пре­вос­хо­дит 1, эти сла­га­е­мые можно раз­де­лить на две груп­пы так, что каж­дое сла­га­е­мое по­па­да­ет толь­ко в одну груп­пу и сумма сла­га­е­мых в каж­дой груп­пе не пре­вос­хо­дит 19.

а)  Может ли число S быть рав­ным 38?

б)  Может ли число S быть боль­ше 37,05?

в)  Най­ди­те мак­си­маль­но воз­мож­ное зна­че­ние S.

Можно ли при­ве­сти при­мер пяти раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел, про­из­ве­де­ние ко­то­рых равно 1512 и

а)  пять;

б)  че­ты­ре;

в)  три

из них об­ра­зу­ют гео­мет­ри­че­скую про­грес­сию?

Все члены ко­неч­ной по­сле­до­ва­тель­но­сти яв­ля­ют­ся на­ту­раль­ны­ми чис­ла­ми. Каж­дый член этой по­сле­до­ва­тель­но­сти, на­чи­ная со вто­ро­го, либо в 10 раз боль­ше, либо в 10 раз мень­ше преды­ду­ще­го. Сумма всех чле­нов по­сле­до­ва­тель­но­сти равна 3024.

а)  Может ли по­сле­до­ва­тель­ность со­сто­ять из двух чле­нов?

б)  Может ли по­сле­до­ва­тель­ность со­сто­ять из трёх чле­нов?

в)  Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство чле­нов может быть в по­сле­до­ва­тель­но­сти?

Бес­ко­неч­ная ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия a₁, a₂, ..., a_n, ... со­сто­ит из раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел.

а)  Су­ще­ству­ет ли такая про­грес­сия, в ко­то­рой среди чисел a₁, a₂, ..., a₇ ровно три числа де­лят­ся на 100?

б)  Су­ще­ству­ет ли такая про­грес­сия, в ко­то­рой среди чисел a₁, a₂, ..., a₄₉ ровно 11 чисел де­лят­ся на 100?

в)  Для ка­ко­го наи­боль­ше­го на­ту­раль­но­го n могло ока­зать­ся так, что среди чисел a₁, a₂, ..., a_2n боль­ше крат­ных 100, чем среди чисел a_{2n + 1}, a_{2n + 2}, ..., a_5n?

В по­сле­до­ва­тель­но­сти из 80 целых чисел каж­дое число (кроме пер­во­го и по­след­не­го) боль­ше сред­не­го ариф­ме­ти­че­ско­го со­сед­них чисел. Пер­вый и по­след­ний члены по­сле­до­ва­тель­но­сти равны 0.

а)  Может ли вто­рой член такой по­сле­до­ва­тель­но­сти быть от­ри­ца­тель­ным?

б)  Может ли вто­рой член такой по­сле­до­ва­тель­но­сти быть рав­ным 20?

в)  Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние вто­ро­го члена такой по­сле­до­ва­тель­но­сти.

По­сле­до­ва­тель­ность со­сто­ит из на­ту­раль­ных чисел, причём каж­дый член по­сле­до­ва­тель­но­сти, кроме пер­во­го и по­след­не­го, боль­ше сред­не­го ариф­ме­ти­че­ско­го со­сед­них (сто­я­щих рядом с ним) чле­нов.

а)  При­ве­ди­те при­мер такой по­сле­до­ва­тель­но­сти, со­сто­я­щей из пяти чле­нов, сумма ко­то­рых равна 40.

б)  Может ли такая по­сле­до­ва­тель­ность со­сто­ять из пяти чле­нов и со­дер­жать два оди­на­ко­вых числа?

в)  Какое наи­мень­шее зна­че­ние может при­ни­мать сумма чле­нов такой по­сле­до­ва­тель­но­сти при n  =  6?

По­сле­до­ва­тель­ность со­сто­ит из на­ту­раль­ных чисел, причём каж­дый член по­сле­до­ва­тель­но­сти, кроме пер­во­го и по­след­не­го, боль­ше сред­не­го ариф­ме­ти­че­ско­го со­сед­них сто­я­щих рядом с ним чле­нов.

а)  При­ве­ди­те при­мер такой по­сле­до­ва­тель­но­сти, со­сто­я­щей из четырёх чле­нов, сумма ко­то­рых равна 50.

б)  Может ли такая по­сле­до­ва­тель­ность со­сто­ять из шести чле­нов и со­дер­жать два оди­на­ко­вых числа?

в)  Какое наи­мень­шее зна­че­ние может при­ни­мать сумма чле­нов такой по­сле­до­ва­тель­но­сти при n  =  10?

На доске на­пи­са­но 30 чисел: де­сять «5», де­сять «4» и де­сять «3». Эти числа раз­би­ва­ют на две груп­пы, в каж­дой из ко­то­рых есть хотя бы одно число. Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское чисел в пер­вой груп­пе равно А, сред­нее ариф­ме­ти­че­ское чисел во вто­рой груп­пе равно В. (Для груп­пы из един­ствен­но­го числа сред­нее ариф­ме­ти­че­ское равно этому числу.)

а)  При­ве­ди­те при­мер раз­би­е­ния ис­ход­ных чисел на две груп­пы, при ко­то­ром сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех чисел мень­ше

б)  До­ка­жи­те, что если раз­бить ис­ход­ные числа на две груп­пы по 15 чисел, то сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех чисел будет равно

в)  Най­ди­те наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние вы­ра­же­ния

На доске на­пи­са­но 24 числа: во­семь «5», во­семь «4» и во­семь «3». Эти числа раз­би­ва­ют на две груп­пы, в каж­дой из ко­то­рых есть хотя бы одно число. Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское чисел в пер­вой груп­пе равно А, сред­нее ариф­ме­ти­че­ское чисел во вто­рой груп­пе равно В. (Для груп­пы из един­ствен­но­го числа сред­нее ариф­ме­ти­че­ское равно этому числу.)

а)  При­ве­ди­те при­мер раз­би­е­ния ис­ход­ных чисел на две груп­пы, при ко­то­ром сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех чисел мень­ше

б)  До­ка­жи­те, что если раз­бить ис­ход­ные числа на две груп­пы по 12 чисел, то сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех чисел будет равно

в)  Най­ди­те наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние вы­ра­же­ния

По­сле­до­ва­тель­ность со­сто­ит из не­от­ри­ца­тель­ных од­но­знач­ных чисел. Пусть M_k  — сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех чле­нов этой по­сле­до­ва­тель­но­сти, кроме k-го. Из­вест­но, что M₁  =  1, M₂  =  2.

а)  при­ве­ди­те при­мер такой по­сле­до­ва­тель­но­сти, для ко­то­рой M₃  =  1,5.

б)  су­ще­ству­ет ли такая по­сле­до­ва­тель­ность, для ко­то­рой M₃  =  3?

в)  Най­ди­те наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние M₃.

Ко­неч­ная по­сле­до­ва­тель­ность со­сто­ит из не обя­за­тель­но раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел, причём при всех на­ту­раль­ных вы­пол­не­но ра­вен­ство

а)  При­ве­ди­те при­мер такой по­сле­до­ва­тель­но­сти при n  =  5, в ко­то­рой a₅  =  4.

б)  Может ли в такой по­сле­до­ва­тель­но­сти не­ко­то­рое на­ту­раль­ное число встре­тить­ся три раза?

в)  При каком наи­боль­шем n такая по­сле­до­ва­тель­ность может со­сто­ять толь­ко из трёхзнач­ных чисел?

Ко­неч­ная воз­рас­та­ю­щая по­сле­до­ва­тель­ность со­сто­ит из на­ту­раль­ных чисел, причём при всех на­ту­раль­ных вы­пол­не­но ра­вен­ство

а)  При­ве­ди­те при­мер такой по­сле­до­ва­тель­но­сти при n  =  4.

б)  Может ли в такой по­сле­до­ва­тель­но­сти при не­ко­то­ром вы­пол­нять­ся ра­вен­ство

в)  Какое наи­мень­шее зна­че­ние может при­ни­мать a₁, если a_n  =  667?

Воз­рас­та­ю­щая ко­неч­ная ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия со­сто­ит из раз­лич­ных целых не­от­ри­ца­тель­ных чисел. Ма­те­ма­тик вы­чис­лил раз­ность между квад­ра­том суммы всех чле­нов про­грес­сии и сум­мой их квад­ра­тов. Затем ма­те­ма­тик до­ба­вил к этой про­грес­сии сле­ду­ю­щий её член и снова вы­чис­лил такую же раз­ность.

а)  При­ве­ди­те при­мер такой про­грес­сии, если во вто­рой раз раз­ность ока­за­лась на 48 боль­ше, чем в пер­вый раз.

б)  Во вто­рой раз раз­ность ока­за­лась на 1440 боль­ше, чем в пер­вый раз. Могла ли про­грес­сия сна­ча­ла со­сто­ять из 12 чле­нов?

в)  Во вто­рой раз раз­ность ока­за­лась на 1440 боль­ше, чем в пер­вый раз. Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство чле­нов могло быть в про­грес­сии сна­ча­ла?

Ко­неч­ная воз­рас­та­ю­щая по­сле­до­ва­тель­ность со­сто­ит из раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел, причём при всех на­ту­раль­ных вы­пол­не­но ра­вен­ство

а)  При­ве­ди­те при­мер такой по­сле­до­ва­тель­но­сти при

б)  Может ли в такой по­сле­до­ва­тель­но­сти при не­ко­то­ром вы­пол­нять­ся ра­вен­ство

в)  Какое наи­мень­шее зна­че­ние может при­ни­мать если ?

Воз­рас­та­ю­щие ариф­ме­ти­че­ские про­грес­сии и со­сто­ят из на­ту­раль­ных чисел.

а)  Су­ще­ству­ют ли такие про­грес­сии, для ко­то­рых ?

б)  Су­ще­ству­ют ли такие про­грес­сии, для ко­то­рых ?

в)  Какое наи­боль­шее зна­че­ние может при­ни­мать про­из­ве­де­ние если ?

По­сле­до­ва­тель­ность со­сто­ит из не­от­ри­ца­тель­ных од­но­знач­ных чисел. Пусть M_k  — сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех чле­нов этой по­сле­до­ва­тель­но­сти, кроме k-го. Из­вест­но, что

а)  При­ве­ди­те при­мер такой по­сле­до­ва­тель­но­сти, для ко­то­рой

б)  Су­ще­ству­ет ли такая по­сле­до­ва­тель­ность, для ко­то­рой

в)  Най­ди­те наи­мень­шее воз­мож­ное зна­че­ние

На по­ли­гра­фи­че­ской фаб­ри­ке стра­ни­цы тет­ра­ди про­ну­ме­ро­ва­ны чис­ла­ми от 1 до 96. На слу­чай­ной стра­ни­це Мак­сим за­пи­сал число 0 и про­ну­ме­ро­вал все стра­ни­цы далее до конца тет­ра­ди чис­ла­ми 1, 2, 3,... и т. д., не про­пус­кая ни одной. Затем он вер­нул­ся к стра­ни­це с за­пи­сан­ным 0 и про­ну­ме­ро­вал стра­ни­цы тет­ра­ди назад чис­ла­ми −1, −2, −3, ... и т. д. до на­ча­ла тет­ра­ди без про­пус­ков. Сумма всех за­пи­сан­ных чисел в тет­ра­ди равна S. Опре­де­ли­те номер стра­ни­цы фаб­рич­ной ну­ме­ра­ции, на ко­то­рой Мак­сим за­пи­сал число 0, если:

а)

б)  

в)  

В по­сле­до­ва­тель­но­сти a₁, a₂,..., a_n−1, a_n, со­сто­я­щей из целых чисел, a₁  =  1, a_n  =  235. Сумма любых двух со­сед­них чле­нов по­сле­до­ва­тель­но­сти равна 3, 5 или 25.

а)  При­ве­ди­те при­мер такой по­сле­до­ва­тель­но­сти.

б)  Может ли такая по­сле­до­ва­тель­ность со­сто­ять из 1000 чле­нов?

в)  Из ка­ко­го наи­мень­ше­го числа чле­нов может со­сто­ять такая по­сле­до­ва­тель­ность?

По­сле­до­ва­тель­ность a₁, a₂, ..., a_n, ... со­сто­ит из на­ту­раль­ных чисел, при­чем a_n+2  =  a_n+1 + a_n при всех на­ту­раль­ных n.

а)  Может ли вы­пол­нять­ся ра­вен­ство 4a₅ = 7a₄?

б)  Может ли вы­пол­нять­ся ра­вен­ство 5a₅ = 7a₄?

в)  При каком наи­боль­шем на­ту­раль­ном n может вы­пол­нять­ся ра­вен­ство

Бес­ко­неч­ная ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия a₁, a₂, ..., a_n, ... со­сто­ит из раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел.

а)  Су­ще­ству­ет ли такая про­грес­сия, в ко­то­рой среди чисел a₁, a₂, ..., a₇ ровно три числа де­лят­ся на 100?

б)  Су­ще­ству­ет ли такая про­грес­сия, в ко­то­рой среди чисел a₁, a₂, ..., a₄₉ ровно 11 чисел де­лят­ся на 100?

в)  Для ка­ко­го наи­боль­ше­го на­ту­раль­но­го n может ока­зать­ся так, что среди чисел a₁, a₂, ..., a_2n боль­ше крат­ных 100, чем среди чисел a_2n + 1, a_2n + 2, ..., a_5n?

Вася и Петя ре­ша­ли за­да­чи из сбор­ни­ка, и они оба ре­ши­ли все за­да­чи этого сбор­ни­ка. Каж­дый день Вася решал на одну за­да­чу боль­ше, чем в преды­ду­щий день, а Петя решал на две за­да­чи боль­ше, чем в преды­ду­щий день. Они на­ча­ли ре­шать за­да­чи в один день, при этом в пер­вый день каж­дый из них решил хотя бы одну за­да­чу.

а)  Могло ли по­лу­чить­ся так, что Вася в пер­вый день решил на одну за­да­чу мень­ше, чем Петя, а Петя решил все за­да­чи из сбор­ни­ка ровно за 5 дней?

б)  Могло ли по­лу­чить­ся так, что Вася в пер­вый день решил на одну за­да­чу боль­ше, чем Петя, а Петя решил все за­да­чи из сбор­ни­ка ровно за 4 дня?

в)  Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство задач могло быть в сбор­ни­ке если каж­дый из ребят решал за­да­чи более 6 дней, при­чем в пер­вый день один из маль­чи­ков решил на одну за­да­чу боль­ше чем дру­гой?

Вася и Петя ре­ша­ли за­да­чи из сбор­ни­ка, при­чем каж­дый сле­ду­ю­щий день Вася решал на одну за­да­чу боль­ше, чем в преды­ду­щий, а Петя  — на две за­да­чи боль­ше, чем в преды­ду­щий. В пер­вый день каж­дый решил хотя бы одну за­да­чу, а в итоге каж­дый решил все за­да­чи сбор­ни­ка.

а)  Могло ли быть в сбор­ни­ке 85 задач?

б)  Могло ли быть в сбор­ни­ке 213 задач, если каж­дый из маль­чи­ков решал их более трех дней?

в)  Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство дней мог ре­шать за­да­чи Петя, если Вася решил весь сбор­ник за 16 дней, а ко­ли­че­ство задач в сбор­ни­ке мень­ше 300.

Вася и Петя ре­ша­ют за­да­чи из сбор­ни­ка. Они на­ча­ли ре­шать за­да­чи в один и тот же день, и ре­ши­ли в этот день хотя бы по одной за­да­че каж­дый. Вася решал в каж­дый сле­ду­ю­щий день на одну за­да­чу боль­ше, чем в преды­ду­щий, а Петя  — на две за­да­чи боль­ше, чем преды­ду­щий день. В итоге каж­дый из них решил все за­да­чи из сбор­ни­ка.

а)  Могло ли быть так, что в пер­вый день они ре­ши­ли оди­на­ко­вое число задач, при этом Петя про­ре­шал весь сбор­ник за пять дней?

б)  Могло ли быть так, что в пер­вый день они ре­ши­ли оди­на­ко­вое число задач, при этом Петя про­ре­шал весь сбор­ник за де­сять дней?

в)  Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство задач могло быть в сбор­ни­ке, если каж­дый из ребят решал за­да­чи более 6 дней, при­чем в пер­вый день Вася решил боль­ше задач чем Петя, а за 7 дней Петя решил задач боль­ше, чем Вася?

Го­то­вясь к эк­за­ме­ну, Вася и Петя ре­ша­ли за­да­чи из сбор­ни­ка, и каж­дый из них решил все за­да­чи этого сбор­ни­ка. Каж­дый день Вася решал на одну за­да­чу боль­ше, чем в преды­ду­щий день, а Петя решал на две за­да­чи боль­ше, чем в преды­ду­щий день. Они на­ча­ли ре­шать за­да­чи в один день, при этом в пер­вый день каж­дый из них решил хотя бы одну за­да­чу.

а)  Могло ли по­лу­чить­ся так, что каж­дый из них решил все за­да­чи сбор­ни­ка ровно за 5 дней?

б)  Могло ли по­лу­чить­ся так, что каж­дый из них решил все за­да­чи сбор­ни­ка ровно за 10 дней?

в)  Какое наи­мень­шее число задач могло быть в сбор­ни­ке, если из­вест­но, что каж­дый из них решал за­да­чи более 6 дней, в пер­вый день Вася решил боль­ше задач, чем Петя, а за семь дней Петя решил боль­ше задач, чем Вася?

По­сле­до­ва­тель­ность на­ту­раль­ных чисел (a_n) со­сто­ит из 400 чле­нов. Каж­дый член по­сле­до­ва­тель­но­сти, на­чи­ная со вто­ро­го, либо вдвое боль­ше преды­ду­ще­го, либо на 98 мень­ше преды­ду­ще­го.

а)  Может ли по­сле­до­ва­тель­ность (a_n) со­дер­жать ровно 5 раз­лич­ных чисел?

б)  Чему может рав­нять­ся если

в)  Какое наи­мень­шее зна­че­ние может при­ни­мать наи­боль­ший член по­сле­до­ва­тель­но­сти (a_n)?

На доске на­пи­са­но n еди­ниц, между не­ко­то­ры­ми из ко­то­рых по­ста­ви­ли знаки + и по­счи­та­ли сумму. На­при­мер, если из­на­чаль­но было на­пи­са­но n  =  12 еди­ниц, то могла по­лу­чить­ся, на­при­мер, такая сумма:

а)  Могла ли сумма рав­нять­ся 150, если n  =  60?

б)  Могла ли сумма рав­нять­ся 150, если n  =  80?

в)  Чему могло рав­нять­ся n, если по­лу­чен­ная сумма чисел равна 150?

На доске на­пи­са­но не­сколь­ко раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел, ко­то­рые де­лят­ся на 3 и окан­чи­ва­ют­ся на 4.

а)  Может ли сумма со­став­лять 282?

б)  Может ли их сумма со­став­лять 390?

в)  Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство чисел могло быть на доске, если их сумма равна 2226?

Все члены по­сле­до­ва­тель­но­сти яв­ля­ют­ся на­ту­раль­ны­ми чис­ла­ми. Каж­дый член этой по­сле­до­ва­тель­но­сти, на­чи­ная со вто­ро­го, либо в 11 раз боль­ше, либо в 11 раз мень­ше преды­ду­ще­го. Сумма всех чле­нов по­сле­до­ва­тель­но­сти равна 2231.

а)  Может ли по­сле­до­ва­тель­ность со­сто­ять из двух чле­нов?

б)  Может ли по­сле­до­ва­тель­ность со­сто­ять из трех чле­нов?

в)  Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство чле­нов может быть в по­сле­до­ва­тель­но­сти?

Ко­неч­ная по­сле­до­ва­тель­ность со­сто­ит из не­обя­за­тель­но раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел, причём при всех на­ту­раль­ных вы­пол­не­но ра­вен­ство

а)  При­ве­ди­те при­мер такой по­сле­до­ва­тель­но­сти при n  =  5, в ко­то­рой a₅  =  4.

б)  Может ли в такой по­сле­до­ва­тель­но­сти не­ко­то­рое на­ту­раль­ное число встре­тить­ся три раза?

в)  При каком наи­боль­шем n такая по­сле­до­ва­тель­ность может со­сто­ять толь­ко из дву­знач­ных чисел?

На доске раз­ре­ша­ет­ся на­пи­сать n таких не­ну­ле­вых целых чисел a₁, a₂, ..., a_n, для ко­то­рых при каж­дом на­ту­раль­ном числе k  =  2, ..., n − 1 вы­пол­не­но ра­вен­ство a_k  =  a_k − 1 + a_k + 1.

а)  Можно ли при n  =  4 на­пи­сать на доске такие числа, чтобы также вы­пол­ня­лось ра­вен­ство a₁  =  a₄?

б)  Можно ли при n  =  100 на­пи­сать на доске такие числа, сумма ко­то­рых равна 2021?

в)  При n  =  10 на доске на­пи­са­ны такие числа, сумма ко­то­рых равна 11. Какое наи­мень­шее зна­че­ние может при­ни­мать сумма их квад­ра­тов?

По­сле­до­ва­тель­ность a₁, a₂, ..., a_n, ... со­сто­ит из на­ту­раль­ных чисел, при­чем a₁ > 4 и a_{n + 1}  =  a_n + 4n² для n ≥ 1.

а)  Могут ли a₂ и a₃ быть про­сты­ми чис­ла­ми?

б)  Может ли сумма двух под­ряд иду­щих чле­нов этой по­сле­до­ва­тель­но­сти де­лить­ся на 4 на­це­ло, если оба эти члена  — про­стые числа?

в)  Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство под­ряд иду­щих чле­нов этой по­сле­до­ва­тель­но­сти (не обя­за­тель­но с пер­во­го) могут быть про­сты­ми чис­ла­ми?

Пер­вый член ко­неч­ной гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии, со­сто­я­щей из трех­знач­ных на­ту­раль­ных чисел, равен 272. Из­вест­но, что в про­грес­сии не мень­ше трех чисел.

а)  Может ли число 425 яв­лять­ся чле­ном такой про­грес­сии?

б)  Может ли число 680 яв­лять­ся чле­ном такой про­грес­сии?

в)  Какое наи­боль­шее число может яв­лять­ся чле­ном такой про­грес­сии?

Рас­смат­ри­ва­ют­ся не­по­сто­ян­ные бес­ко­неч­ные ариф­ме­ти­че­ские про­грес­сии a₁, a₂, ..., a_n, ..., со­сто­я­щие из на­ту­раль­ных чисел. Пусть S_n  — сумма пер­вых n чле­нов, S₁  =  a₁.

а)  Су­ще­ству­ет ли такая ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия, что S₆  =  1980?

б)  Су­ще­ству­ет ли такая ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия, что для не­ко­то­ро­го на­ту­раль­но­го числа n имеют место ра­вен­ства S_n  =  350 и S_n + 2  =  625?

в)  Сколь­ко су­ще­ству­ет таких на­ту­раль­ных чисел n, для ко­то­рых су­ще­ству­ет такая ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия, что S_n  =  625?

Ко­неч­ная воз­рас­та­ю­щая по­сле­до­ва­тель­ность a₁, a₂, ... a_n со­сто­ит из раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел, при­чем при всех на­ту­раль­ных вы­пол­не­но ра­вен­ство

а)  При­ве­ди­те при­мер такой по­сле­до­ва­тель­но­сти при

б)  Может ли в такой по­сле­до­ва­тель­но­сти при не­ко­то­ром вы­пол­нять­ся ра­вен­ство

в)  Какое наи­мень­шее зна­че­ние может при­ни­мать a₁, если

Обо­зна­чим через s(n) сумму цифр числа n, а через a(n)  — сумму квад­ра­тов цифр числа n.

а)  Может ли a(n) быть в 12 раз боль­ше, чем s(n)?

б)  У каких на­ту­раль­ных чисел n число a(n) в 9 раз боль­ше, чем s(n)?

в)  Возь­мем любое на­ту­раль­ное число m и со­ста­вим бес­ко­неч­ную по­сле­до­ва­тель­ность сле­ду­ю­щим об­ра­зом: и для всех При каких m ко­ли­че­ство раз­лич­ных чле­нов этой по­сле­до­ва­тель­но­сти ко­неч­но?

Пусть {a_n}  — по­сле­до­ва­тель­ность на­ту­раль­ных чисел. Обо­зна­чим сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех чле­нов по­сле­до­ва­тель­но­сти {a_n}, ко­то­рые мень­ше не­ко­то­ро­го числа C, ко­то­рое боль­ше наи­мень­ше­го, но не боль­ше наи­боль­ше­го члена этой по­сле­до­ва­тель­но­сти. Обо­зна­чим   — сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех чле­нов по­сле­до­ва­тель­но­сти {a_n}, ко­то­рые не мень­ше числа C. Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское од­но­го числа равно са­мо­му числу. К каж­до­му члену по­сле­до­ва­тель­но­сти {a_n} при­ба­ви­ли 4. По­лу­чи­лась новая по­сле­до­ва­тель­ность, ко­то­рую обо­зна­чим

а)  Су­ще­ству­ет ли по­сле­до­ва­тель­ность {a_n}, со­сто­я­щая из трёх чле­нов, для ко­то­рой

б)  Су­ще­ству­ет ли по­сле­до­ва­тель­ность {a_n}, со­сто­я­щая из трёх чле­нов, для ко­то­рой и

в)  Из­вест­но, что сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех чле­нов по­сле­до­ва­тель­но­сти {a_n}, рав­ня­ет­ся 84, и Какое на­и­ме­ны­шее число чле­нов может быть в по­сле­до­ва­тель­но­сти {a_n}?

а)  Пер­вый член гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии {b_n} равен 5, и для всех чле­нов вы­пол­ня­ет­ся усло­вие В какой наи­мень­шей ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии со­дер­жит­ся эта гео­мет­ри­че­ская про­грес­сия?

б)  Члены по­сле­до­ва­тель­но­сти на­ту­раль­ных чисел {a_n} удо­вле­тво­ря­ют усло­вию a₁  =  2, a₂  =  5 и для всех При каких зна­че­ни­ях n число a_n де­лит­ся на 13?

в)  По­сле­до­ва­тель­но­сти на­ту­раль­ных чисел {x_n} за­да­на усло­ви­я­ми x₁  =  1, x₂  =  3 и для всех Чему равно x₂₀?

По­сле­до­ва­тель­ность {a_n} для всех на­ту­раль­ных со­сто­ит из на­ту­раль­ных чисел и об­ла­да­ет сле­ду­ю­щим свой­ством: по­сле­до­ва­тель­ность сред­них ариф­ме­ти­че­ских с общим чле­ном

для также со­сто­ит из на­ту­раль­ных чисел.

а)  Най­ди­те a_n, если для всех

б)  По­сле­до­ва­тель­ность {b_n} яв­ля­ет­ся пе­ри­о­ди­че­ской: все члены с не­чет­ны­ми но­ме­ра­ми равны c, все члены с чет­ны­ми но­ме­ра­ми равны (c + 1), где c не­чет­ное на­ту­раль­ное число. Най­ди­те по­след­ние члены по­сле­до­ва­тель­но­стей {a_n} и {b_n}.

в)  По­сле­до­ва­тель­ность {b_n} яв­ля­ет­ся убы­ва­ю­щей ариф­ме­ти­че­ской про­грес­си­ей с пер­вым чле­ном 100 и раз­но­стью d  =  –1 и имеет наи­боль­шее воз­мож­ное число чле­нов. Сколь­ко чле­нов в этой по­сле­до­ва­тель­но­сти?

В бес­ко­неч­ной по­сле­до­ва­тель­но­сти на­ту­раль­ных чисел {c_n} числа, сто­я­щие на не­чет­ных ме­стах, об­ра­зу­ют ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию {a_n} с пер­вым чле­ном a и раз­но­стью а числа, сто­я­щие на чет­ных ме­стах, об­ра­зу­ют ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию {b_n} с пер­вым чле­ном b и раз­но­стью при­чем и

а)  Могут ли в по­сле­до­ва­тель­но­сти {c_n} сто­ять под­ряд три оди­на­ко­вых числа?

б)  Какое мак­си­маль­ное ко­ли­че­ство пар со­сед­них оди­на­ко­вых чисел может быть в по­сле­до­ва­тель­но­сти {c_n}?

в)  Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство чисел в по­сле­до­ва­тель­но­сти {c_n} может сто­ять между двумя па­ра­ми со­сед­них оди­на­ко­вых чисел?

Бес­ко­неч­ная по­сле­до­ва­тель­ность {a_n} на­ту­раль­ных чисел за­да­на ре­кур­рент­но:

а)  Если в по­сле­до­ва­тель­но­сти {a_n} два эле­мен­та равны: при то чему равна раз­ность (m – n)?

б)  При каких зна­че­ни­ях n сумма будет точ­ным квад­ра­том?

в)  Если по­след­няя цифра суммы S_n равна 6, то какая цифра будет пред­по­след­ней?

Бес­ко­неч­ная не­по­сто­ян­ная ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия со­сто­ит из на­ту­раль­ных чисел.

а)  Если a₄  =  12, может ли a₄₂ де­лить­ся на 11?

б)  Может ли 6ыть a₁  =  13, если a₇₃ и a₉₅ де­лят­ся на 9?

в)  Пер­вый член про­грес­сии де­лит­ся 6ез остат­ка на 19, вто­рой  — на 23, тре­тий  — на 31. Чему равна наи­мень­шая воз­мож­ная раз­ность d этой про­грес­сии? Най­ди­те наи­мень­шее воз­мож­ное зна­че­ние a₅ при наи­мень­шем воз­мож­ном зна­че­нии d.

а)  При под­го­тов­ке к ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке Петя решил про­ре­шать все за­да­чи из сбор­ни­ка про­шло­го года, на­чи­ная с самых про­стых и кон­чая са­мы­ми слож­ны­ми. В по­не­дель­ник он решил по­ло­ви­ну всех задач и еще одну, а далее каж­дый день решал по­ло­ви­ну задач, остав­ших­ся от преды­ду­ще­го дня, и еще одну. В пят­ни­цу той же не­де­ли все за­да­чи сбор­ни­ка были ре­ше­ны. Сколь­ко всего задач было в сбор­ни­ке?

б)  Решив все за­да­чи, Петя начал со­став­лять по­сле­до­ва­тель­ность {a_n} из на­ту­раль­ных чисел по сле­ду­ю­ще­му пра­ви­лу: пер­вым чле­ном яв­ля­ет­ся любое число a₁, а даль­ше члены по­сле­до­ва­тель­но­сти на­хо­дят­ся по фор­му­ле Если на каком-то этапе по­лу­ча­ет­ся не на­ту­раль­ное число, то по­сле­до­ва­тель­ность за­кан­чи­ва­ет­ся по­след­ним на­ту­раль­ным чис­лом. Чему равен по­след­ний член этой по­сле­до­ва­тель­но­сти?

в)  Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство квад­ра­тов может быть в такой по­сле­до­ва­тель­но­сти?

а)  Из по­сле­до­ва­тель­но­сти всех на­ту­раль­ных чисел вы­черк­нем все числа, де­ля­щи­е­ся на 3. Какое число в остав­шей­ся по­сле­до­ва­тель­но­сти будет сто­ять на месте с но­ме­ром 1000?

б)  Сумма квад­ра­тов цифр трех­знач­но­го числа a де­лит­ся на 3, а сумма кубов его цифр не де­лит­ся на 3. Будет ли де­лить­ся на 3 про­из­ве­де­ние цифр числа a?

в)  У квад­рат­но­го урав­не­ния ко­эф­фи­ци­ен­ты p и q, а также корни x₁ и x₂ яв­ля­ют­ся на­ту­раль­ны­ми чис­ла­ми, не де­ля­щи­ми­ся на 3. Какой оста­ток при де­ле­нии на 3 имеет число q?

На­ту­раль­ный ряд «удво­и­ли», то есть каж­дое число за­пи­са­ли два­жды: 1, 1, 2, 2, 3, 3, ... . По­лу­чив­ший­ся ряд чисел раз­би­ли на по­сле­до­ва­тель­но­сти: так, что по­сле­до­ва­тель­ность M_n со­дер­жит n чисел, иду­щих по по­ряд­ку.

а)  Может ли сумма чисел в какой-⁠либо по­сле­до­ва­тель­но­сти рав­нять­ся 89?

б)  Может ли сумма чисел в какой-⁠либо по­сле­до­ва­тель­но­сти рав­нять­ся 119?

в)  Чему равна сумма чисел в по­сле­до­ва­тель­но­сти M₁₀₀?

а)  Су­ще­ству­ет ли воз­рас­та­ю­щая гео­мет­ри­че­ская про­грес­сия, со­сто­я­щая из трех трех­знач­ных на­ту­раль­ных чисел a, b, c, где a < b < c, у ко­то­рых мно­же­ства цифр оди­на­ко­вые?

б)  Три на­ту­раль­ных числа a, b, c об­ра­зу­ют ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию. Число a дву­знач­ное, число b по­лу­ча­ет­ся, если цифры числа a по­ме­нять ме­ста­ми, число c по­лу­ча­ет­ся, если между циф­ра­ми числа a вста­вить ещё одну цифру. Най­ди­те числа a, b, c и раз­ность про­грес­сии d.

в)  На счет­чи­ке рас­хо­да воды 1 ян­ва­ря сто­я­ло трех­знач­ное число. 1 фев­ра­ля цифры по­ме­ня­лись ме­ста­ми  — пер­вая стала тре­тьей, вто­рая пер­вой, а тре­тья вто­рой. 1 марта цифры опять по­ме­ня­лись ме­ста­ми таким же об­ра­зом  — пер­вая стала тре­тьей, вто­рая пер­вой, а тре­тья вто­рой. При этом рас­ход воды в ян­ва­ре и фев­ра­ле был оди­на­ко­вым. Най­ди­те еже­ме­сяч­ный рас­ход воды и по­ка­за­ния счет­чи­ка с 1 ян­ва­ря по 1 марта.