За­ду­ма­но не­сколь­ко (не обя­за­тель­но раз­лич­ных) на­ту­раль­ных чисел. Эти числа и их все воз­мож­ные суммы (по 2, по 3 и т. д.) вы­пи­сы­ва­ют на доску в по­ряд­ке не­убы­ва­ния. Если какое-⁠то число n, вы­пи­сан­ное на доску, по­вто­ря­ет­ся не­сколь­ко раз, то на доске остав­ля­ет­ся одно такое число n, а осталь­ные числа, рав­ные n, сти­ра­ют­ся. На­при­мер, если за­ду­ма­ны числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет за­пи­сан набор 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11.

а)  При­ве­ди­те при­мер за­ду­ман­ных чисел, для ко­то­рых на доске будет за­пи­сан набор 2, 4, 6, 8, 10.

б)  Су­ще­ству­ет ли при­мер таких за­ду­ман­ных чисел, для ко­то­рых на доске будет за­пи­сан набор 1, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 11, 12, 13, 15, 17, 18, 19, 20, 22?

в)  При­ве­ди­те все при­ме­ры за­ду­ман­ных чисел, для ко­то­рых на доске будет за­пи­сан набор 7, 8, 10, 15, 16, 17, 18, 23, 24, 25, 26, 31, 33, 34, 41.

На доске на­пи­са­но число 2015 и еще не­сколь­ко (не менее двух) на­ту­раль­ных чисел, не пре­вос­хо­дя­щих 5000. Все на­пи­сан­ные на доске числа раз­лич­ны. Сумма любых двух из на­пи­сан­ных чисел де­лит­ся на какое-⁠ни­будь из осталь­ных.

а)  Может ли на доске быть на­пи­са­но ровно 1009 чисел?

б)  Может ли на доске быть на­пи­са­но ровно пять чисел?

в)  Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство чисел может быть на­пи­са­но на доске?

На доске было на­пи­са­но 20 на­ту­раль­ных чисел (не обя­за­тель­но раз­лич­ных), каж­дое из ко­то­рых не пре­вос­хо­дит 40. Вме­сто не­ко­то­рых из чисел (воз­мож­но, од­но­го) на доске на­пи­са­ли числа, мень­шие пер­во­на­чаль­ных на еди­ни­цу. Числа, ко­то­рые после этого ока­за­лись рав­ны­ми 0, с доски стёрли.

а)  Могло ли ока­зать­ся так, что сред­нее ариф­ме­ти­че­ское чисел на доске уве­ли­чи­лось?

б)  Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское пер­во­на­чаль­но на­пи­сан­ных чисел рав­ня­лось 27. Могло ли сред­нее ариф­ме­ти­че­ское остав­ших­ся на доске чисел ока­зать­ся рав­ным 34?

в)  Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское пер­во­на­чаль­но на­пи­сан­ных чисел рав­ня­лось 27. Най­ди­те наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние сред­не­го ариф­ме­ти­че­ско­го чисел, ко­то­рые оста­лись на доске.

За­ду­ма­но не­сколь­ко целых чисел. Набор этих чисел и все их воз­мож­ные суммы (по 2, по 3 и т. д.) вы­пи­сы­ва­ют на доску в по­ряд­ке не­убы­ва­ния. На­при­мер, если за­ду­ма­ны числа 2, 3, 5, то на доске будет вы­пи­сан набор 2, 3, 5, 5, 7, 8, 10.

а)  На доске вы­пи­сан набор −11, −7, −5, −4, −1, 2, 6. Какие числа были за­ду­ма­ны?

б)  Для не­ко­то­рых раз­лич­ных за­ду­ман­ных чисел в на­бо­ре, вы­пи­сан­ном на доске, число 0 встре­ча­ет­ся ровно 4 раза. Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство чисел могло быть за­ду­ма­но?

в)  Для не­ко­то­рых за­ду­ман­ных чисел на доске вы­пи­сан набор. Все­гда ли по этому на­бо­ру можно од­но­знач­но опре­де­лить за­ду­ман­ные числа?

На доске на­пи­са­но более 40, но менее 48 целых чисел. Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское этих чисел равно −3, сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех по­ло­жи­тель­ных из них равно 4, сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех от­ри­ца­тель­ных из них равно −8.

а)  Сколь­ко чисел на­пи­са­но на доске?

б)  Каких чисел на­пи­са­но боль­ше: по­ло­жи­тель­ных или от­ри­ца­тель­ных?

в)  Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство по­ло­жи­тель­ных чисел может быть среди них?

На доске на­пи­са­но число 7. Раз в ми­ну­ту Вася до­пи­сы­ва­ет на доску одно число: либо вдвое боль­шее ка­ко­го-то из чисел на доске, либо рав­ное сумме каких-⁠то двух чисел, на­пи­сан­ных на доске (таким об­ра­зом, через одну ми­ну­ту на доске по­явит­ся вто­рое число, через две  ― тре­тье и т. д.).

а)  Может ли в какой-то мо­мент на доске ока­зать­ся число 2012?

б)  Может ли в какой-то мо­мент сумма всех чисел на доске рав­нять­ся 63?

в)  Через какое наи­мень­шее время на доске может по­явить­ся число 784?

Каж­дое из чисел 1, −2, −3, 4, −5, 7, −8, 9 по од­но­му за­пи­сы­ва­ют на 8 кар­точ­ках. Кар­точ­ки пе­ре­во­ра­чи­ва­ют и пе­ре­ме­ши­ва­ют. На их чи­стых сто­ро­нах за­но­во пишут по од­но­му каж­дое из чисел 1, −2, −3, 4, −5, 7, −8, 9. После этого числа на каж­дой кар­точ­ке скла­ды­ва­ют, а по­лу­чен­ные во­семь сумм пе­ре­мно­жа­ют.

а)  Может ли в ре­зуль­та­те по­лу­чить­ся 0?

б)  Может ли в ре­зуль­та­те по­лу­чить­ся 1?

в)  Какое наи­мень­шее целое не­от­ри­ца­тель­ное число может в ре­зуль­та­те по­лу­чить­ся?

На­ту­раль­ные числа от 1 до 12 раз­би­ва­ют на че­ты­ре груп­пы, в каж­дой из ко­то­рых есть по край­ней мере два числа. Для каж­дой груп­пы на­хо­дят сумму чисел этой груп­пы. Для каж­дой пары групп на­хо­дят мо­дуль раз­но­сти най­ден­ных сумм и по­лу­чен­ные 6 чисел скла­ды­ва­ют.

а)  Может ли в ре­зуль­та­те по­лу­чить­ся 0?

б)  Может ли в ре­зуль­та­те по­лу­чить­ся 1?

в)  Ка­ко­во наи­мень­шее воз­мож­ное зна­че­ние по­лу­чен­но­го ре­зуль­та­та?

На доске на­пи­са­но более 27, но менее 45 целых чисел. Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское этих чисел равно −5, сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех по­ло­жи­тель­ных из них равно 9, а сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех от­ри­ца­тель­ных из них равно −18.

а)  Сколь­ко чисел на­пи­са­но на доске?

б)  Каких чисел на­пи­са­но боль­ше: по­ло­жи­тель­ных или от­ри­ца­тель­ных?

в)  Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство по­ло­жи­тель­ных чисел может быть среди них?

Из пер­вых 22 на­ту­раль­ных чисел 1, 2, ..., 22 вы­бра­ли 2k раз­лич­ных чисел. Вы­бран­ные числа раз­би­ли на пары и по­счи­та­ли суммы чисел в каж­дой паре. Ока­за­лось, что все по­лу­чен­ные суммы раз­лич­ны и не пре­вос­хо­дят 27.

а)  Может ли по­лу­чить­ся так, что сумма всех 2k вы­бран­ных чисел рав­ня­ет­ся 170 и в каж­дой паре одно из чисел ровно в три раза боль­ше дру­го­го?

б)  Может ли число k быть рав­ным 11?

в)  Най­ди­те наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние числа k.

На доске на­пи­са­но 10 не­от­ри­ца­тель­ных чисел. За один ход сти­ра­ют­ся два числа, а вме­сто них за­пи­сы­ва­ет­ся сумма, округлённая до це­ло­го числа (на­при­мер, вме­сто 5,5 и 3 за­пи­сы­ва­ет­ся 9, а вме­сто 3,3 и 5 за­пи­сы­ва­ет­ся 8).

а)  При­ве­ди­те при­мер 10 не­це­лых чисел и по­сле­до­ва­тель­но­сти 9 ходов, после ко­то­рых на доске будет за­пи­са­но число, рав­ное сумме ис­ход­ных чисел.

б)  Может ли после 9 ходов на доске быть на­пи­са­но число, от­ли­ча­ю­ще­е­ся от суммы ис­ход­ных чисел на 7?

в)  На какое наи­боль­шее число могут от­ли­чать­ся числа, за­пи­сан­ные на доске после 9 ходов, вы­пол­нен­ных с одним и тем же на­бо­ром ис­ход­ных чисел в раз­лич­ном по­ряд­ке?

На доске на­пи­са­ны числа 2 и 3. За один ход два числа a и b, за­пи­сан­ных на доске за­ме­ня­ет­ся на два числа: a + b и 2a − 1 или a + b и 2b − 1.

При­мер: числа 2 и 3 за­ме­ня­ют­ся на 3 и 5, на 5 и 5 со­от­вет­ствен­но.

а)  При­ве­ди­те при­мер по­сле­до­ва­тель­но­сти ходов, после ко­то­рых одно из чисел, на­пи­сан­ных на доске, ока­жет­ся чис­лом 19.

б)  Может ли после 50 ходов одно из двух чисел, на­пи­сан­ных на доске, ока­зать­ся чис­лом 100?

в)  Сде­ла­ли 2015 ходов, причём на доске ни­ко­гда не было на­пи­са­но од­но­вре­мен­но двух рав­ных чисел. Какое наи­мень­шее зна­че­ние может при­ни­мать раз­ность боль­ше­го и мень­ше­го из по­лу­чен­ных чисел?

На про­ек­те «Мисс Чма­ров­ка  — 2016» вы­ступ­ле­ние каж­дой участ­ни­цы оце­ни­ва­ют шесть судей. При этом каж­дый судья вы­став­ля­ет оцен­ку  — целое число бал­лов от 0 до 10 вклю­чи­тель­но. Из­вест­но, что за вы­ступ­ле­ние Изоль­ды Ка­ба­но­вой все члены жюри вы­ста­ви­ли раз­лич­ные оцен­ки. По ста­рой си­сте­ме оце­ни­ва­ния ито­го­вый балл за вы­ступ­ле­ние опре­де­ля­ет­ся как сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех оце­нок судей. По новой си­сте­ме оце­ни­ва­ния ито­го­вый балл вы­чис­ля­ет­ся сле­ду­ю­щим об­ра­зом: от­бра­сы­ва­ют­ся наи­мень­шая и наи­боль­шая оцен­ки, и счи­та­ет­ся сред­нее ариф­ме­ти­че­ское че­ты­рех остав­ших­ся оце­нок.

а)  Могут ли ито­го­вые баллы, вы­чис­лен­ные по ста­рой и новой си­сте­мам оце­ни­ва­ния, ока­зать­ся оди­на­ко­вы­ми?

б)  Может ли раз­ность ито­го­вых бал­лов, вы­чис­лен­ных по ста­рой и новой си­сте­мам оце­ни­ва­ния, ока­зать­ся рав­ной 

в)  Най­ди­те наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние раз­но­сти ито­го­вых бал­лов, вы­чис­лен­ных по ста­рой и новой си­сте­мам оце­ни­ва­ния.

На доске на­пи­са­ли не­сколь­ко не обя­за­тель­но раз­лич­ных дву­знач­ных на­ту­раль­ных чисел без нулей в де­ся­тич­ной за­пи­си. Сумма этих чисел ока­за­лась рав­ной 363. Затем в каж­дом числе по­ме­ня­ли ме­ста­ми первую и вто­рую цифры (на­при­мер, число 17 за­ме­ни­ли на число 71).

а)  При­ве­ди­те при­мер ис­ход­ных чисел, для ко­то­рых сумма по­лу­чив­ших­ся чисел ровно в 4 раза боль­ше, чем сумма ис­ход­ных чисел.

б)  Могла ли сумма по­лу­чив­ших­ся чисел быть ровно в 2 раза боль­ше, чем сумма ис­ход­ных чисел?

в)  Най­ди­те наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние суммы по­лу­чив­ших­ся чисел.

Набор со­сто­ит из 33 на­ту­раль­ных чисел, среди ко­то­рых есть числа 3, 4 и 5.

Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское любых 27 чисел этого на­бо­ра мень­ше 2.

а)  Может ли такой набор со­дер­жать ровно 13 еди­ниц?

б)  Может ли такой набор со­дер­жать менее 13 еди­ниц?

в)  До­ка­жи­те, что в любом таком на­бо­ре есть не­сколь­ко чисел, сумма ко­то­рых равна 28.

Каж­дое из чисел 1, −2, −3, 4, −5, 7, −8, 9, 10, −11 по од­но­му за­пи­сы­ва­ют на 10 кар­точ­ках. Кар­точ­ки пе­ре­во­ра­чи­ва­ют и пе­ре­ме­ши­ва­ют. На их чи­стых сто­ро­нах за­но­во пишут по од­но­му каж­дое из чисел 1, −2, −3, 4, −5, 7, −8, 9, 10, −11. После этого числа на каж­дой кар­точ­ке скла­ды­ва­ют, а по­лу­чен­ные 10 сумм пе­ре­мно­жа­ют.

а)  Может ли в ре­зуль­та­те по­лу­чить­ся 0?

б)  Может ли в ре­зуль­та­те по­лу­чить­ся 1?

в)  Какое наи­мень­шее целое не­от­ри­ца­тель­ное число может в ре­зуль­та­те по­лу­чить­ся?

На доске на­пи­са­но не­сколь­ко раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел, про­из­ве­де­ние любых двух из ко­то­рых боль­ше 40 и мень­ше 100.

а)  Может ли на доске быть 5 чисел?

б)  Может ли на доске быть 6 чисел?

в)  Какое наи­боль­шее зна­че­ние может при­ни­мать сумма чисел на доске, если их че­ты­ре?

На доске на­пи­са­но не­сколь­ко (более од­но­го) раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел, при­чем любые два из них от­ли­ча­ют­ся не более чем в три раза.

а)  Может ли на доске быть 5 чисел, сумма ко­то­рых равна 47?

б)  Может ли на доске быть 10 чисел, сумма ко­то­рых равна 94? 

в)  Сколь­ко может быть чисел на доске, если их про­из­ве­де­ние равно 8000?

За­ду­ма­но не­сколь­ко на­ту­раль­ных чисел (не обя­за­тель­но раз­лич­ных). Эти числа и все их воз­мож­ные про­из­ве­де­ния (по 2 числа, по 3 числа и т. д.) вы­пи­сы­ва­ют на доску. Если какое-⁠то число n, вы­пи­сан­ное на доску, по­вто­ря­ет­ся не­сколь­ко раз, то на доске остав­ля­ют одно такое число n, а осталь­ные числа, рав­ные n, сти­ра­ют. На­при­мер, если за­ду­ма­ны числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет за­пи­сан набор 1, 3, 4, 9, 12, 36.

а)  При­ве­ди­те при­мер за­ду­ман­ных чисел, для ко­то­рых на доске будет за­пи­сан набор 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90.

б)  Су­ще­ству­ет ли при­мер таких за­ду­ман­ных чисел, для ко­то­рых на доске будет за­пи­сан набор 3, 5, 7, 9, 15, 21, 35, 45, 105, 315, 945?

в)  При­ве­ди­те все при­ме­ры шести за­ду­ман­ных чисел, для ко­то­рых на доске будет за­пи­сан набор, наи­боль­шее число в ко­то­ром равно 82.

За­ду­ма­но не­сколь­ко на­ту­раль­ных чисел (не обя­за­тель­но раз­лич­ных). Эти числа и все их воз­мож­ные про­из­ве­де­ния (по 2 числа, по 3 числа и т. д.) вы­пи­сы­ва­ют на доску. Если какое-⁠то число n, вы­пи­сан­ное на доску, по­вто­ря­ет­ся не­сколь­ко раз, то на доске остав­ля­ют одно такое число n, а осталь­ные числа, рав­ные n, сти­ра­ют. На­при­мер, если за­ду­ма­ны числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет за­пи­сан набор 1, 3, 4, 9, 12, 36.

а)  При­ве­ди­те при­мер за­ду­ман­ных чисел, для ко­то­рых на доске будет за­пи­сан набор 2, 3, 5, 6, 10, 15, 25, 30, 50, 75, 150.

б)  Су­ще­ству­ет ли при­мер таких за­ду­ман­ных чисел, для ко­то­рых на доске будет за­пи­сан набор 2, 5, 10, 11, 22, 25, 55, 110, 275, 550?

в)  При­ве­ди­те все при­ме­ры пяти за­ду­ман­ных чисел, для ко­то­рых на доске будет за­пи­сан набор, наи­боль­шее число в ко­то­ром равно 91.

Саша берёт пять раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел и про­де­лы­ва­ет с ними сле­ду­ю­щие опе­ра­ции: сна­ча­ла вы­чис­ля­ет сред­нее ариф­ме­ти­че­ское пер­вых двух чисел, затем сред­нее ариф­ме­ти­че­ское ре­зуль­та­та и тре­тье­го числа, потом сред­нее ариф­ме­ти­че­ское по­лу­чен­но­го ре­зуль­та­та и четвёртого числа, потом сред­нее ариф­ме­ти­че­ское по­лу­чен­но­го ре­зуль­та­та и пя­то­го числа  — число A.

а)  Может ли число A рав­нять­ся сред­не­му ариф­ме­ти­че­ско­му на­чаль­ных пяти чисел?

б)  Может ли число A быть боль­ше сред­не­го ариф­ме­ти­че­ско­го на­чаль­ных чисел в пять раз?

в)  В какое наи­боль­шее целое число раз число A может быть боль­ше сред­не­го ариф­ме­ти­че­ско­го на­чаль­ных пяти чисел?

На доске на­пи­са­но 30 на­ту­раль­ных чисел. Какие-то из них крас­ные, а какие-⁠то зелёные. Крас­ные числа крат­ны 7, а зелёные числа крат­ны 5. Все крас­ные числа от­ли­ча­ют­ся друг от друга, как и все зелёные. Но между крас­ны­ми и зелёными могут быть оди­на­ко­вые.

а)  Может ли сумма всех чисел, за­пи­сан­ных на доске, быть мень­ше 2325, если на доске на­пи­са­ны толь­ко крат­ные 5 числа?

б)  Может ли сумма чисел быть 1467, если толь­ко одно число крас­ное?

в)  Най­ди­те наи­мень­шее ко­ли­че­ство крас­ных чисел, ко­то­рое может быть при сумме 1467.

На доске на­пи­са­но 30 на­ту­раль­ных чисел. Какие-⁠то из них крас­ные, а какие-⁠то зелёные. Крас­ные числа крат­ны 8, а зелёные числа крат­ны 3. Все крас­ные числа от­ли­ча­ют­ся друг от друга, как и все зелёные. Но между крас­ны­ми и зелёными могут быть оди­на­ко­вые.

а)  Может ли сумма всех чисел, за­пи­сан­ных на доске, быть мень­ше 1395, если на доске на­пи­са­ны толь­ко крат­ные 3 числа?

б)  Может ли сумма чисел быть 1066, если толь­ко одно число крас­ное?

в)  Най­ди­те наи­мень­шее ко­ли­че­ство крас­ных чисел, ко­то­рое может быть при сумме 1066.

На доске на­пи­са­но 100 раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел с сум­мой 5100.

а)  Может ли быть за­пи­са­но число 250?

б)  Можно ли обой­тись без числа 11?

в)  Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство чисел, крат­ных 11, может быть на доске?

На доске на­пи­са­но 100 раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел с сум­мой 5120.

а)  Может ли быть за­пи­са­но число 230?

б)  Можно ли обой­тись без числа 14?

в)  Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство чисел, крат­ных 14, может быть на доске?

На доске на­пи­са­но 30 раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел, каж­дое из ко­то­рых либо чет­ное, либо его де­ся­тич­ная за­пись за­кан­чи­ва­ет­ся на цифру 7. Сумма на­пи­сан­ных чисел равна 810.

а)  Может ли быть 24 чет­ных числа?

б)  Может ли быть на доске ровно два числа, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 7?

в)  Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство чисел с по­след­ней циф­рой 7 может быть на доске?

На доске на­пи­са­но 30 раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел, каж­дое или окан­чи­ва­ет­ся на 9, или чет­ное, а сумма чисел равна 877.

а)  Может ли быть на доске 27 чет­ных чисел?

б)  Может ли быть на доске ровно два числа, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 9?

в)  Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство чисел с по­след­ней циф­рой 9 может быть на доске?

На доске было на­пи­са­но 30 на­ту­раль­ных чисел (не обя­за­тель­но раз­лич­ных), каж­дое из ко­то­рых не пре­вос­хо­дит 40. Вме­сто каж­до­го из чисел на доске на­пи­са­ли число, в два раза мень­ше пер­во­на­чаль­но­го. Числа, ко­то­рые после этого ока­за­лись мень­ше 1, с доски стер­ли.

а)  Пусть сред­нее ариф­ме­ти­че­ское пер­во­на­чаль­но на­пи­сан­ных чисел рав­ня­лось 7. Могло ли ока­зать­ся так, что сред­нее ариф­ме­ти­че­ское чисел, остав­ших­ся на доске, боль­ше 14?

б)  Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское пер­во­на­чаль­но на­пи­сан­ных чисел рав­ня­лось 27. Могло ли сред­нее ариф­ме­ти­че­ское остав­ших­ся на доске чисел ока­зать­ся боль­ше 12, но мень­ше 13?

в)  Пусть сред­нее ариф­ме­ти­че­ское пер­во­на­чаль­но на­пи­сан­ных чисел рав­ня­лось 7. Най­ди­те наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние сред­не­го ариф­ме­ти­че­ско­го чисел, ко­то­рые оста­лись на доске.

На доске на­пи­са­но 11 раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел. Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское шести наи­мень­ших из них равно 7, а сред­нее ариф­ме­ти­че­ское шести наи­боль­ших равно 16.

а)  Может ли наи­мень­шее из этих один­на­дца­ти чисел рав­нять­ся 5?

б)  Может ли сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех один­на­дца­ти чисел рав­нять­ся 10?

в)  Пусть B  — ше­стое по ве­ли­чи­не число, а S  — сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех один­на­дца­ти чисел. Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние вы­ра­же­ния

На кон­кур­се «Мисс−261» вы­ступ­ле­ние каж­дой участ­ни­цы оце­ни­ва­ют шесть судей. Каж­дый судья вы­став­ля­ет оцен­ку  — целое число бал­лов от 0 до 10 вклю­чи­тель­но. Из­вест­но, что за вы­ступ­ле­ние участ­ни­цы С все члены жюри вы­ста­ви­ли раз­лич­ные оцен­ки. По ста­рой си­сте­ме оце­ни­ва­ния ито­го­вый балл за вы­ступ­ле­ние опре­де­ля­ет­ся как сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех оце­нок судей. По новой си­сте­ме оце­ни­ва­ния ито­го­вый балл вы­чис­ля­ет­ся сле­ду­ю­щим об­ра­зом: от­бра­сы­ва­ют­ся две наи­боль­шие оцен­ки, и счи­та­ет­ся сред­нее ариф­ме­ти­че­ское че­ты­рех остав­ших­ся оце­нок.

а)  Может ли раз­ность ито­го­вых бал­лов, вы­чис­лен­ных по ста­рой и новой си­сте­мам оце­ни­ва­ния, быть рав­ной 18?

б)  Может ли раз­ность ито­го­вых бал­лов, вы­чис­лен­ных по ста­рой и новой си­сте­мам оце­ни­ва­ния, быть рав­ной

в)  Най­ди­те наи­мень­шее воз­мож­ное зна­че­ние раз­но­сти ито­го­вых бал­лов, вы­чис­лен­ных по ста­рой и новой си­сте­мам оце­ни­ва­ния.

На доске были на­пи­са­ны не­сколь­ко целых чисел. Не­сколь­ко раз с доски сти­ра­ли по два числа, раз­ность ко­то­рых де­лит­ся на 5.

а)  Может ли сумма всех остав­ших­ся на доске чисел рав­нять­ся 34, если из­на­чаль­но по од­но­му разу были на­пи­са­ны все на­ту­раль­ные числа от 9 до 20 вклю­чи­тель­но?

б)  Может ли на доске остать­ся ровно два числа, про­из­ве­де­ние ко­то­рых окан­чи­ва­ет­ся на цифру 1, если из­на­чаль­но по од­но­му разу были на­пи­са­ны квад­ра­ты на­ту­раль­ных чисел от 59 до 92 вклю­чи­тель­но?

в)  Пусть из­вест­но, что на доске оста­лось ровно два числа, а из­на­чаль­но по од­но­му разу были на­пи­са­ны квад­ра­ты на­ту­раль­ных чисел от 59 до 92 вклю­чи­тель­но. Какое наи­боль­шее зна­че­ние может по­лу­чить­ся, если по­де­лить одно из остав­ших­ся чисел на вто­рое из них?

Есть синие и крас­ные кар­точ­ки. Всего кар­то­чек 50 штук. На каж­дой кар­точ­ке на­пи­са­но на­ту­раль­ное число. Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех чисел равно 16. Все числа на синих кар­точ­ках раз­ные. При этом любое число на синей кар­точ­ке боль­ше, чем любое на крас­ной. Числа на синих уве­ли­чи­ли в 2 раза, после чего сред­нее ариф­ме­ти­че­ское стало равно 31,2.

а)  Может ли быть 10 синих кар­то­чек?

б)  Может ли быть 10 крас­ных кар­то­чек?

в)  Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство синих кар­то­чек может быть?

На доске на­пи­са­но 19 на­ту­раль­ных чисел (не­обя­за­тель­но раз­лич­ных), каж­дое из ко­то­рых не пре­вос­хо­дит 11. Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское на­пи­сан­ных на доске чисел равно 10. С этими чис­ла­ми про­из­ве­ли сле­ду­ю­щие дей­ствия: чет­ные числа раз­де­ли­ли на 2, а не­чет­ные  — умно­жи­ли на 2. Пусть А  — сред­нее ариф­ме­ти­че­ское по­лу­чен­ных чисел.

а)  Могли ли ока­зать­ся так, что

б)  Могли ли ока­зать­ся так, что

в)  Най­ди­те наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние А.

На ли­сточ­ке за­пи­са­но 13 раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел. Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское семи наи­мень­ших из них равно 7, сред­нее ариф­ме­ти­че­ское семи наи­боль­ших из них равно 16.

а)  Может ли наи­мень­шее из 13 чисел рав­нять­ся 5?

б)  Может ли сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех 13 чисел рав­нять­ся 12?

в)  Пусть P  — сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех 13 чисел, Q  — седь­мое по ве­ли­чи­не число. Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние вы­ра­же­ния P − Q.

В те­че­ние n дней каж­дый день на доску за­пи­сы­ва­ют на­ту­раль­ные числа, каж­дое из ко­то­рых мень­ше 6. При этом каж­дый день (кроме пер­во­го) сумма чисел, за­пи­сан­ных на доску в этот день, боль­ше, а ко­ли­че­ство мень­ше, чем в преды­ду­щий день.

а)  Может ли n быть боль­ше 5?

б)  Может ли сред­нее ариф­ме­ти­че­ское чисел, за­пи­сан­ных в пер­вый день, быть мень­ше 3, а сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех чисел, за­пи­сан­ных за все дни, быть боль­ше 4?

в)  Из­вест­но, что сумма чисел, за­пи­сан­ных в пер­вый день, равна 6. Какое наи­боль­шее зна­че­ние может при­ни­мать сумма всех чисел за эти дни?

В те­че­ние n дней каж­дый день на доску за­пи­сы­ва­ют на­ту­раль­ные числа, каж­дое из ко­то­рых мень­ше 6. При этом каж­дый день (кроме пер­во­го) сумма чисел, за­пи­сан­ных на доску в этот день, боль­ше, а ко­ли­че­ство мень­ше, чем в преды­ду­щий день.

а)  Может ли n быть боль­ше 6?

б)  Может ли сред­нее ариф­ме­ти­че­ское чисел, за­пи­сан­ных в пер­вый день, быть мень­ше 2, а сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех чисел, за­пи­сан­ных за все дни, быть боль­ше 4?

в)  Из­вест­но, что сумма чисел, за­пи­сан­ных в пер­вый день, равна 5. Какое наи­боль­шее зна­че­ние может при­ни­мать сумма всех чисел, за­пи­сан­ных за все дни?

На доске на­пи­са­но не­сколь­ко раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел, в за­пи­си ко­то­рых могут быть толь­ко цифры 1 и 6.

а)  Может ли сумма этих чисел быть равна 173?

б)  Может ли сумма этих чисел быть равна 109?

в)  Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство чисел может быть на доске, если их сумма равна 1021?

На доске на­пи­са­но 35 раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел, каж­дое из ко­то­рых либо чет­ное, либо его де­ся­тич­ная за­пись окан­чи­ва­ет­ся на цифру 7. Сумма всех за­пи­сан­ных на доске чисел равна 1135.

а)  Может ли на доске быть ровно 31 чет­ное число?

б)  Могут ли ровно семь чисел на доске окан­чи­вать­ся на 7?

в)  Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство чисел, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 7, может быть на доске?

На доске было на­пи­са­но 30 на­ту­раль­ных чисел (не­обя­за­тель­но раз­лич­ных), каж­дое из ко­то­рых боль­ше 2, но не пре­вос­хо­дит 42. Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское на­пи­сан­ных чисел рав­ня­лось 6. Вме­сто каж­до­го из чисел на доске на­пи­са­ли число, в два раза мень­ше пер­во­на­чаль­но­го. Числа, ко­то­рые после этого ока­за­лись мень­ше 2, с доски стер­ли.

а)  Могло ли ока­зать­ся так, что сред­нее ариф­ме­ти­че­ское чисел, остав­ших­ся на доске, боль­ше 10?

б)  Могло ли сред­нее ариф­ме­ти­че­ское остав­ших­ся на доске ока­зать­ся боль­ше 8, но мень­ше 9?

в)  Най­ди­те наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние сред­не­го ариф­ме­ти­че­ско­го чисел, ко­то­рые оста­лись на доске.

Аня иг­ра­ет в игру: на доске на­пи­са­ны два раз­лич­ных на­ту­раль­ных числа a и b, оба мень­ше 1000. Если и оба на­ту­раль­ные, то Аня де­ла­ет ход  — за­ме­ня­ет этими двумя чис­ла­ми преды­ду­щие. Если хотя бы одно из этих чисел не яв­ля­ет­ся на­ту­раль­ным, то игра пре­кра­ща­ет­ся.

а)  Может ли игра про­дол­жать­ся ровно три хода?

б)  Су­ще­ству­ет ли два на­чаль­ных числа таких, что игра будет про­дол­жать­ся не менее 9 ходов?

в)  Аня сде­ла­ла пер­вый ход в игре. Най­ди­те наи­боль­шее воз­мож­ное от­но­ше­ние про­из­ве­де­ния по­лу­чен­ных двух чисел к про­из­ве­де­нию преды­ду­щих двух чисел.

За­ду­ма­но не­сколь­ко (не обя­за­тель­но раз­лич­ных) на­ту­раль­ных чисел. Эти числа и все их воз­мож­ные про­из­ве­де­ния (по 2, по 3 и т. д.) вы­пи­сы­ва­ют на доску в по­ряд­ке не­убы­ва­ния. Если какое‐⁠то число n, вы­пи­сан­ное на доску, по­вто­ря­ет­ся не­сколь­ко раз, то на доске остав­ля­ет­ся одно такое число n, а осталь­ные числа, рав­ные n, сти­ра­ют­ся. На­при­мер, если за­ду­ма­ны числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет за­пи­сан набор 1, 3, 4, 9, 12, 36.

а)  При­ве­ди­те при­мер за­ду­ман­ных чисел, для ко­то­рых на доске будет за­пи­сан набор 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.

б)  Су­ще­ству­ет ли при­мер таких за­ду­ман­ных чисел, для ко­то­рых на доске будет за­пи­сан набор 2, 3, 4, 6, 7, 8, 12, 14, 21, 24, 28, 56, 84, 168?

в)  Из­вест­но, что набор на доске со­сто­ит ровно из 31 числа и имеет вид 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, … , 1080, то есть из­вест­ны семь пер­вых и одно по­след­нее числа на­бо­ра. При­ве­ди­те все воз­мож­ные при­ме­ры за­ду­ман­ных чисел.

На доске были на­пи­са­ны не­сколь­ко целых чисел. Не­сколь­ко раз с доски сти­ра­ли по два числа, сумма ко­то­рых де­лит­ся на 3.

а)  Может ли сумма всех остав­ших­ся на доске чисел рав­нять­ся 8, если из­на­чаль­но по од­но­му разу были на­пи­са­ны числа 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 и 11?

б)  Может ли на доске остать­ся ровно два числа, раз­ность между ко­то­ры­ми равна 39, если из­на­чаль­но по од­но­му разу были на­пи­са­ны все на­ту­раль­ные числа от 100 до 199 вклю­чи­тель­но?

в)  Пусть из­вест­но, что на доске оста­лось ровно два числа, а из­на­чаль­но по од­но­му разу были на­пи­са­ны все на­ту­раль­ные числа от 100 до 199 вклю­чи­тель­но. Какое наи­боль­шее зна­че­ние может по­лу­чить­ся, если по­де­лить одно из остав­ших­ся чисел на вто­рое из них?

По кругу за­пи­са­но не­сколь­ко (два и более) раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел. Каж­дое число или в три раза боль­ше со­сед­не­го слева числа, или на два мень­ше.

а)  Могут ли быть вы­пи­са­ны и число 5, и число 6?

б)  Могут ли быть вы­пи­са­ны ровно семь чисел?

в)  Какое мак­си­маль­ное зна­че­ние может иметь наи­боль­шее из вы­пи­сан­ных чисел, если сумма всех вы­пи­сан­ных чисел не пре­вос­хо­дит 2021?

На доске было на­пи­са­но 30 на­ту­раль­ных чисел (не обя­за­тель­но раз­лич­ных), каж­дое из ко­то­рых не пре­вос­хо­дит 40. Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех на­пи­сан­ных чисел было равно 7. Вме­сто каж­до­го из чисел на доске на­пи­са­ли число, вдвое мень­шее пер­во­на­чаль­но­го. Числа, ока­зав­ши­е­ся после этого мень­ше 1, с доски стёрли.

а)  Могло ли сред­нее ариф­ме­ти­че­ское чисел, остав­ших­ся на доске, стать боль­ше 14?

б)  Могло ли сред­нее ариф­ме­ти­че­ское остав­ших­ся на доске чисел стать боль­ше 12, но мень­ше 13?

в)  Най­ди­те мак­си­маль­ное воз­мож­ное зна­че­ние сред­не­го ариф­ме­ти­че­ско­го остав­ших­ся на доске чисел.

На доске раз­ре­ша­ет­ся на­пи­сать n таких по­пар­но раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел a₁, a₂, ..., a_n, для ко­то­рых при каж­дом на­ту­раль­ном числе k  =  2, ..., n − 1 вы­пол­не­но ра­вен­ство

а)  Можно ли при n  =  4 на­пи­сать на доске такие числа, чтобы также вы­пол­ня­лось ра­вен­ство a₄  =  2021?

б)  Можно ли при n  =  100 на­пи­сать на доске такие числа, чтобы также вы­пол­ня­лось не­ра­вен­ство |a₂ − a₁| < 2021?

в)  При n  =  10 на доске на­пи­са­ны такие числа. Какое наи­мень­шее зна­че­ние может при­ни­мать a₁₀?

В те­че­ние n дней еже­днев­но на доску за­пи­сы­ва­ют на­ту­раль­ные числа, каж­дое из ко­то­рых мень­ше 5. При этом каж­дый день (кроме пер­во­го) сумма чисел, за­пи­сан­ных на доску в этот день, боль­ше, а ко­ли­че­ство  — мень­ше, чем в преды­ду­щий день.

а)  Может ли n быть боль­ше 4?

б)  Может ли сред­нее ариф­ме­ти­че­ское чисел, за­пи­сан­ных в пер­вый день, быть мень­ше 2, а сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех чисел, за­пи­сан­ных за все дни, быть боль­ше 3?

в)  Из­вест­но, что сумма чисел, за­пи­сан­ных в пер­вый день, равна 5. Какое наи­боль­шее зна­че­ние может при­ни­мать сумма всех чисел за все дни?

Есть жел­тые и белые кар­точ­ки, всего  — 100 штук. На каж­дой на­пи­са­но на­ту­раль­ное число, сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех чисел равно 32. Все числа на жел­тых кар­точ­ках раз­ные. При этом любое число на жел­той кар­точ­ке боль­ше, чем любое число на белой. Все числа на жел­тых кар­точ­ках уве­ли­чи­ли в 3 раза, после чего сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех чисел стало равно 94,6.

а)  Может ли быть ровно 70 жел­тых кар­то­чек?

б)  Могут ли все числа на белых кар­точ­ках быть раз­лич­ны­ми?

в)  Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство жел­тых кар­то­чек может быть?

На доске на­пи­са­но 30 на­ту­раль­ных чисел (числа могут по­вто­рять­ся), каж­дое из ко­то­рых либо зе­ле­но­го, либо крас­но­го цвета. Каж­дое зе­ле­ное число крат­но 3, а каж­дое крас­ное число крат­но 7. При этом все зе­ле­ные числа раз­лич­ны и все крас­ные раз­лич­ны; какое‐⁠то зе­ле­ное может рав­нять­ся ка­ко­му‐⁠то крас­но­му числу.

а)  Может ли сумма на­пи­сан­ных чисел быть мень­ше если все числа на доске крат­ны 3?

б)  Может ли ровно одно число на доске быть крас­ным, если сумма на­пи­сан­ных чисел равна 1067?

в)  Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство крас­ных чисел может быть на доске, если сумма на­пи­сан­ных чисел равна 1067?

На доске на­пи­са­но N раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел, каж­дое из ко­то­рых не пре­вос­хо­дит 99. Для любых двух на­пи­сан­ных на доске чисел a и b, таких, что a < b, ни одно из на­пи­сан­ных чисел не де­лит­ся на b – a, и ни одно из на­пи­сан­ных чисел не яв­ля­ет­ся де­ли­те­лем числа b – a.

а)  Могли ли на доске быть на­пи­са­ны какие-то два числа из чисел 18, 19 и 20?

б)  Среди на­пи­сан­ных на доске чисел есть 17. Может ли N быть равно 25?

в)  Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние N.

На доске на­пи­са­но не­сколь­ко раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел. Дроб­ная часть сред­не­го ариф­ме­ти­че­ско­го этих чисел равна 0,32 (то есть если вы­честь из сред­не­го ариф­ме­ти­че­ско­го этих чисел 0,32, то по­лу­чит­ся целое число).

а)  Могло ли на доске быть на­пи­са­но мень­ше 100 чисел?

б)  Могло ли на доске быть на­пи­са­но мень­ше 20 чисел?

в)  Най­ди­те наи­мень­шее воз­мож­ное зна­че­ние сред­не­го ариф­ме­ти­че­ско­го этих чисел.

На доске раз­ре­ша­ет­ся в одну стро­ку так на­пи­сать раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел чтобы для лю­бо­го число рав­ня­лось либо сумме, либо раз­но­сти, либо про­из­ве­де­нию, либо част­но­му взя­тых в не­ко­то­ром по­ряд­ке чисел и a_k. На­при­мер, этим пра­ви­лам удо­вле­тво­ря­ют 4 числа 3, 12, 4, 8, а также 5 чисел 8, 2, 4, 6, 24, на­пи­сан­ные в ука­зан­ном по­ряд­ке.

а)  Можно ли по этим пра­ви­лам так на­пи­сать n  =  5 чисел, чтобы среди них в не­ко­то­ром по­ряд­ке встре­ти­лись че­ты­ре числа 1, 2, 3 и 4?

б)  Можно ли по этим пра­ви­лам так на­пи­сать n  =  4 не­чет­ных числа, чтобы среди них в не­ко­то­ром по­ряд­ке встре­ти­лись три числа 3, 5 и 7?

в)  Какое наи­мень­шее зна­че­ние может при­ни­мать n, если на доске в не­ко­то­ром по­ряд­ке встре­ча­ют­ся числа 1, 2 и 8?

На ли­сточ­ке на­пи­са­но более 100, но мень­ше 115 целых чисел. Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское чисел, мень­ших 13, равно −20, а сред­нее ариф­ме­ти­че­ское чисел, боль­ших 13, равно 35. Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех чисел, за­пи­сан­ных на ли­сточ­ке, равно 7.

а)  Сколь­ко чисел за­пи­са­но на ли­сточ­ке?

б)  Может ли чисел, боль­ших 13, быть боль­ше, чем чисел, мень­ших 13?

в)  Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство чисел, ко­то­рые боль­ше 13, может быть среди этих чисел, если из­вест­но, что есть хотя бы одно число, рав­ное 13?

На доске в пер­вой стро­ке на­пи­са­но два на­ту­раль­ных числа n и n + 1, а во вто­рой стро­ке по од­но­му разу за­пи­са­ны те и толь­ко те на­ту­раль­ные числа, ко­то­рые яв­ля­ют­ся де­ли­те­ля­ми од­но­го из чисел пер­вой стро­ки. На­при­мер, если в пер­вой стро­ке на­пи­са­ны числа 3 и 4, то во вто­рой стро­ке на­пи­са­ны числа 1, 2, 3 и 4.

а)  Может ли во вто­рой стро­ке быть на­пи­са­но ровно 6 чисел?

б)  Может ли во вто­рой стро­ке быть на­пи­са­но ровно 4 числа, если

в)  Сколь­ко су­ще­ству­ет таких чисел для ко­то­рых во вто­рой стро­ке на­пи­са­но чётное ко­ли­че­ство чисел?

На доске на­пи­са­но трёхзнач­ное число A. Серёжа зачёрки­ва­ет одну цифру и по­лу­ча­ет дву­знач­ное число B, затем Коля за­пи­сы­ва­ет число A и за­чер­ки­ва­ет одну цифру (воз­мож­но ту же, что Серёжа) и по­лу­ча­ет число C.

а)  Может ли быть вер­ным урав­не­ние если

б)  Может ли быть вер­ным урав­не­ние если

в)  Най­ди­те наи­боль­шее число A до 900 для ко­то­ро­го вы­пол­ня­ет­ся

На столе лежит три кар­точ­ки, на каж­дой из ко­то­рых на­пи­са­на одна цифра. Ваня со­ста­вил из на­пи­сан­ных цифр трех­знач­ное число А. Петя вы­брал две из этих кар­то­чек, со­ста­вил из на­пи­сан­ных на них цифр дву­знач­ное число В и вер­нул кар­точ­ки на место. Коля тоже вы­брал две из этих трех кар­то­чек и со­ста­вил из на­пи­сан­ных на них цифр дву­знач­ное число С (воз­мож­но то же самое, что и Петя).

а)  Может ли быть вер­ным ра­вен­ство A  =  B + C, если A < 150?

б)  Может ли быть вер­ным ра­вен­ство A  =  B + C, если числа B и C де­лят­ся на 3?

в)  Най­ди­те наи­боль­шее число A, для ко­то­ро­го может быть вер­ным ра­вен­ство A  =  B + C.

Ше­сти­знач­ное число, в де­ся­тич­ной за­пи­си ко­то­ро­го при­сут­ству­ют по од­но­му разу цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, будем на­зы­вать хо­ро­шим.

а)  Может ли хо­ро­шее число быть про­стым?

б)  Может ли хо­ро­шее число иметь на­ту­раль­ных 63 де­ли­те­ля?

в)  Может ли хо­ро­шее число де­лить­ся на 11?

г)  Сколь­ко хо­ро­ших чисел де­лит­ся на 12?

На доске на­пи­са­но n еди­ниц под­ряд. Между не­ко­то­ры­ми из них рас­став­ля­ют знаки «+» и счи­та­ют по­лу­чив­шу­ю­ся сумму. На­при­мер, если было на­пи­са­но 10 еди­ниц, то можно по­лу­чить сумму 136:

a)  Можно ли по­лу­чить сумму 122, если n  =  59?

б)  Можно ли по­лу­чить сумму 123, если n  =  59?

в)  Какую наи­боль­шую четырёхзнач­ную сумму можно по­лу­чить, если n  =  59?

На доске на­пи­са­ны числа 7 и 8. За один ход раз­ре­ше­но за­ме­нить на­пи­сан­ную на доске пару чисел a и b парой 2a – 1 и a + b (на­при­мер, из пары 7 и 8 за один ход можно по­лу­чить либо числа 13 и 15, либо числа 15 и 15).

а)  Может ли слу­чить­ся так, что после не­сколь­ких ходов одно из на­пи­сан­ных на доске чисел будет равно 99?

б)  Может ли слу­чить­ся так, что после 22 ходов одно из на­пи­сан­ных на доске чисел будет равно 8 787 878?

в)  После 1001 хода на доске по­лу­чи­ли пару чисел, не рав­ных друг другу. Какое наи­мень­шее зна­че­ние может иметь раз­ность между боль­шим и мень­шим из этих чисел.

Из на­бо­ра цифр 1, 2, 3, 4, 6, 7 и 9 со­став­ля­ют пару чисел, ис­поль­зуя каж­дую цифру один раз.

а)  Может ли сумма такой пары чисел рав­нять­ся 15 008?

б)  Может ли сумма такой пары чисел рав­нять­ся 94 358?

в)  Какое наи­боль­шее зна­че­ние может при­ни­мать сумма чисел в такой паре?

На доске в пер­вой стро­ке на­пи­са­но раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел, а во вто­рой  — по од­но­му разу те и толь­ко те на­ту­раль­ные числа, ко­то­рые яв­ля­ют­ся наи­мень­шим общим крат­ным каких‐либо двух раз­лич­ных чисел из пер­вой стро­ки. На­при­мер, если в пер­вой стро­ке на­пи­са­ны числа 1, 2, 3 и 4, то во вто­рой стро­ке на­пи­са­ны числа 2, 3, 4, 6 и 12.

а)  Может ли во вто­рой стро­ке быть на­пи­са­но ровно 10 чисел при

б)  Может ли во вто­рой стро­ке быть на­пи­са­но ровно одно число при

в)  Какое наи­мень­шее зна­че­ние может при­ни­мать n, если среди чисел вто­рой стро­ки есть числа и

Сне­го­вик на­пи­сал ряд на­ту­раль­ных чисел от 1 до 2025. Затем он за­черк­нул каж­дое вто­рое число, на­чи­ная слева, а по­след­нее не­за­черк­ну­тое число пе­ре­нес в на­ча­ло ряда. Затем по­вто­рил опе­ра­цию: за­черк­нул каж­дое вто­рое число, на­чи­ная слева, а по­след­нее не­за­черк­ну­тое число пе­ре­нес в на­ча­ло ряда. И так далее до тех пор, пока не оста­нет­ся ровно два числа.

а)  Может ли после оче­ред­ной опе­ра­ции остать­ся 253 числа?

б)  Может ли после оче­ред­ной опе­ра­ции остать­ся 64 числа?

в)  Чему равна сумма по­след­них двух не­за­черк­ну­тых чисел?

Мороз Ива­но­вич на­пи­сал на доске не­сколь­ко (более од­но­го) по­пар­но раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел, при­чем любые два из них от­ли­ча­ют­ся не более чем в три раза.

а)  Может ли на доске быть 6 чисел, сумма ко­то­рых равна 71?

6)  Может ли на доске быть 9 чисел, сумма ко­то­рых равна 71?

в)  Сколь­ко может быть чисел на доске, если их про­из­ве­де­ние равно 7000?

На доске на­пи­са­но число 11. Раз в ми­ну­ту Петя до­пи­сы­ва­ет на доску одно число: либо вдвое боль­шее ка­ко­го-⁠то из чисел на доске, либо рав­ное сумме каких-то двух чисел, на­пи­сан­ных на доске. Таким об­ра­зом, через одну ми­ну­ту на доске по­явит­ся вто­рое число, через две  — тре­тье и т. д.

а)  Может ли в какой-⁠то мо­мент на доске ока­зать­ся число 2025?

б)  Может ли в какой-⁠то мо­мент сумма всех чисел рав­нять­ся 121?

в)  Через какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство минут на доске может по­явит­ся число 891?

На доске на­пи­са­ны цифры 111111222222 (шесть 1 и шесть 2). Ма­ри­на со­ста­ви­ла из этих две­на­дца­ти цифр 5 по­пар­но раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел, каж­дое из ко­то­рых не крат­но 3.

а)  Может ли среди со­став­лен­ных Ма­ри­ной чисел быть ровно два че­ты­рех­знач­ных?

б)  Может ли быть среди со­став­лен­ных Ма­ри­ной чисел быть хотя бы одно ше­сти­знач­ное?

в)  Пусть K  — наи­боль­шее из со­став­лен­ных Ма­ри­ной чисел. Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние, ко­то­рое может при­ни­мать K.

На доске за­пи­са­но k по­сле­до­ва­тель­ных на­ту­раль­ных чисел. Ока­за­лось, что среди них чисел, де­ля­щих­ся на 20, мень­ше, чем чисел, де­ля­щих­ся на 23.

а)  Могло ли среди за­пи­сан­ных чисел быть ровно три числа, де­ля­щих­ся на 20?

б)  Могло ли среди за­пи­сан­ных чисел быть ровно де­сять чисел, де­ля­щих­ся на 20?

в)  Най­ди­те наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние k.

На доске на­пи­са­но 10 на­ту­раль­ных чисел, среди ко­то­рых нет оди­на­ко­вых. Ока­за­лось, что сред­нее ариф­ме­ти­че­ское любых че­ты­рех или семи чисел из за­пи­сан­ных яв­ля­ет­ся целым чис­лом.

а)  Могут ли среди за­пи­сан­ных на доске чисел од­но­вре­мен­но быть числа 567 и 1414?

б)  Может ли одно из за­пи­сан­ных на доске чисел быть квад­ра­том дру­го­го, если среди за­пи­сан­ных на доске чисел есть число 567?

в)  Из­вест­но, что среди за­пи­сан­ных на доске чисел есть число n и его квад­рат n². Най­ди­те наи­мень­шее воз­мож­ное зна­че­ние n.