а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пра­виль­ной пи­ра­ми­де SABC с вер­ши­ной S на сто­ро­не ос­но­ва­ния AC и бо­ко­вом ребре SB от­ме­ти­ли со­от­вет­ствен­но точки E и N такие, что AE : EC  =  SN : NB  =  1 : 2. Через точки E и N па­рал­лель­но пря­мой AB про­ве­ли плос­кость α.

а)  До­ка­жи­те, что се­че­ни­ем пи­ра­ми­ды SABC плос­ко­стью α яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция.

б)  Плос­кость α раз­де­ли­ла пи­ра­ми­ду SABC на два мно­го­гран­ни­ка. Най­ди­те объем того из них, в ко­то­ром одной из вер­шин яв­ля­ет­ся точка А, если AB  =  6,

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

В июне 2028 года пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит на 10 лет в раз­ме­ре 1500 тысяч руб­лей. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

—  каж­дый ян­варь с 2029 по 2033 год долг воз­рас­та­ет на 22% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года;

—  каж­дый ян­варь с 2034 по 2038 год долг воз­рас­та­ет на 18% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года;

—  с фев­ра­ля по май каж­до­го года не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

—  в июне каж­до­го года долг дол­жен быть на одну и ту же ве­ли­чи­ну мень­ше долга на июль преды­ду­ще­го года;

—  к июню 2038 года долг дол­жен быть пол­но­стью по­га­шен.

На сколь­ко руб­лей по­след­няя вы­пла­та будет мень­ше вы­пла­ты 2033 года?

В па­рал­ле­ло­грам­ме ABCD бис­сек­три­са угла BAD пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну BC в точке K, а про­дол­же­ние сто­ро­ны DC  — в точке P; диа­го­наль AC яв­ля­ет­ся бис­сек­три­сой угла KAD.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те AC : AP, если AB : BC  =  3 : 8.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма урав­не­ний

имеет ровно три раз­лич­ных ре­ше­ния.

На доске в пер­вой стро­ке на­пи­са­но раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел, а во вто­рой  — по од­но­му разу те и толь­ко те на­ту­раль­ные числа, ко­то­рые яв­ля­ют­ся наи­мень­шим общим крат­ным каких‐либо двух раз­лич­ных чисел из пер­вой стро­ки. На­при­мер, если в пер­вой стро­ке на­пи­са­ны числа 1, 2, 3 и 4, то во вто­рой стро­ке на­пи­са­ны числа 2, 3, 4, 6 и 12.

а)  Может ли во вто­рой стро­ке быть на­пи­са­но ровно 10 чисел при

б)  Может ли во вто­рой стро­ке быть на­пи­са­но ровно одно число при

в)  Какое наи­мень­шее зна­че­ние может при­ни­мать n, если среди чисел вто­рой стро­ки есть числа и