В квар­ти­ре уста­нов­лен при­бор учёта рас­хо­да хо­лод­ной воды (счётчик). По­ка­за­ния счётчика 1 ян­ва­ря со­став­ля­ли 121 куб. м воды, а 1 фев­ра­ля  — 131 куб. м. Сколь­ко нужно за­пла­тить за хо­лод­ную воду за ян­варь, если сто­и­мость 1 куб. м хо­лод­ной воды со­став­ля­ет 13 руб. 50 коп.? Ответ дайте в руб­лях.

На ри­сун­ке жир­ны­ми точ­ка­ми по­ка­за­на цена меди на мо­мент за­кры­тия бир­же­вых тор­гов во все ра­бо­чие дни в ок­тяб­ре 2010 года. По го­ри­зон­та­ли ука­за­ны числа ме­ся­ца, по вер­ти­ка­ли  — цена меди в дол­ла­рах США за тонну. Для на­гляд­но­сти жир­ные точки на ри­сун­ке со­еди­не­ны ли­ни­ей. Опре­де­ли­те по ри­сун­ку наи­мень­шую цену меди за дан­ный пе­ри­од. Ответ дайте в дол­ла­рах США за тонну.

На клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1×1 изоб­ражён квад­рат. Най­ди­те ра­ди­ус впи­сан­ной в него окруж­но­сти.

Перед на­ча­лом фут­боль­но­го матча судья бро­са­ет мо­нет­ку, чтобы опре­де­лить, какая из ко­манд начнёт игру с мячом. Ко­ман­да «Сап­фир» иг­ра­ет три матча с раз­ны­ми ко­ман­да­ми. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что в этих мат­чах ко­ман­да «Сап­фир» начнёт игру с мячом не более од­но­го раза.

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния

В тре­уголь­ни­ке ABC угол C равен 90°, AB  =  5, BC  =  4. Най­ди­те cosA.

На ри­сун­ке изоб­ра­же­ны гра­фик функ­ции y = f (x) и ка­са­тель­ная к нему в точке с абс­цис­сой x₀. Най­ди­те зна­че­ние про­из­вод­ной функ­ции f (x) в точке x₀.

В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де ABCDA₁B₁C₁D₁ из­вест­но, что AB  =  6, BC  =  5, AA₁  =  4. Най­ди­те объём мно­го­гран­ни­ка, вер­ши­на­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся точки A, B, C, D, A₁, B₁.

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

Для на­гре­ва­тель­но­го эле­мен­та не­ко­то­ро­го при­бо­ра экс­пе­ри­мен­таль­но была по­лу­че­на за­ви­си­мость тем­пе­ра­ту­ры (в К) от вре­ме­ни ра­бо­ты:

где t  — время (в мин.), T₀ = 1380 К, a = −15 К/мин², b = 165 К/мин. Из­вест­но, что при тем­пе­ра­ту­ре на­гре­ва­тель­но­го эле­мен­та свыше 1800 К при­бор может ис­пор­тить­ся, по­это­му его нужно от­клю­чить. Най­ди­те, через какое наи­боль­шее время после на­ча­ла ра­бо­ты нужно от­клю­чить при­бор. Ответ дайте в ми­ну­тах.

Пер­вый час ав­то­мо­биль ехал со ско­ро­стью 115 км/ч, сле­ду­ю­щие три часа  — со ско­ро­стью 45 км/ч, а затем два часа  — со ско­ро­стью 40 км/ч. Най­ди­те сред­нюю ско­рость ав­то­мо­би­ля на про­тя­же­нии всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке

а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Се­че­ни­ем пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да ABCDA₁B₁C₁D₁ плос­ко­стью α со­дер­жа­щей пря­мую BD₁ и па­рал­лель­ной пря­мой AC, яв­ля­ет­ся ромб.

а)  До­ка­жи­те, что грань ABCD  — квад­рат.

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стя­ми α и BCC₁, если AA₁  =  6, AB  =  4.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

В тре­уголь­ни­ке ABC точки A₁, B₁ и C₁  — се­ре­ди­ны сто­рон BC, AC и AB со­от­вет­ствен­но, AH  — вы­со­та,

а)  До­ка­жи­те, что A_1, B₁, C₁ и H лежат на одной окруж­но­сти.

б)  Най­ди­те A₁H, если

Пен­си­он­ный фонд вла­де­ет цен­ны­ми бу­ма­га­ми, ко­то­рые стоят тыс. руб­лей в конце года В конце лю­бо­го года пен­си­он­ный фонд может про­дать цен­ные бу­ма­ги и по­ло­жить день­ги на счёт в банке, при этом в конце каж­до­го сле­ду­ю­ще­го года сумма на счёте будет уве­ли­чи­вать­ся в раз. Пен­си­он­ный фонд хочет про­дать цен­ные бу­ма­ги в конце та­ко­го года, чтобы в конце два­дцать пя­то­го года сумма на его счёте была наи­боль­шей. Расчёты по­ка­за­ли, что для этого цен­ные бу­ма­ги нужно про­да­вать стро­го в конце два­дцать пер­во­го года. При каких по­ло­жи­тель­ных зна­че­ни­ях r это воз­мож­но?

Най­ди­те все зна­че­ния а, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма не­ра­венств

имеет хотя бы одно ре­ше­ние на от­рез­ке [3; 4].

На доске на­пи­са­но не­сколь­ко раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел, про­из­ве­де­ние любых двух из ко­то­рых боль­ше 40 и мень­ше 100.

а)  Может ли на доске быть 5 чисел?

б)  Может ли на доске быть 6 чисел?

в)  Какое наи­боль­шее зна­че­ние может при­ни­мать сумма чисел на доске, если их че­ты­ре?