ЕГЭ–2026, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 19 № 660096 Добавить в вариант

На доске написаны числа 7 и 8. За один ход разрешено заменить написанную на доске пару чисел a и b парой 2a – 1 и a + b (например, из пары 7 и 8 за один ход можно получить либо числа 13 и 15, либо числа 15 и 15).

а)  Может ли случиться так, что после нескольких ходов одно из написанных на доске чисел будет равно 99?

б)  Может ли случиться так, что после 22 ходов одно из написанных на доске чисел будет равно 8 787 878?

в)  После 1001 хода на доске получили пару чисел, не равных друг другу. Какое наименьшее значение может иметь разность между большим и меньшим из этих чисел.

Спрятать решение

Решение.

а)  На первом шаге можно получить пары (13, 15) или (15, 15). На втором шаге  — пары (25, 28), (28, 29), (29, 30). На третьем  — пары (49, 53), (53 ,55), (55, 57), (57, 57), (57, 59), (59, 59). Все пары, кроме первой, дадут на четвертом и последующих шагах два числа, больших 99. Первая может дать (97, 102), но на следующем ходе числа станут больше 99. Значит, получить 99 нельзя.

б)  Нет. Заметим, что если $a меньше b,$ то

$2 a минус 1 меньше a плюс b меньше или равно b минус 1 плюс b = 2 b минус 1,$

а если a  =  ⁠b, то

$2 a минус 1 = 2 b минус 1 меньше 2 a = a плюс b.$

Значит, меньшее из двух чисел растет как минимум так: удваивается, и из результата вычитается 1. Поэтому минимальное число после 22 хода может быть не меньше чем

$левая круглая скобка \ldots левая круглая скобка левая круглая скобка 7 умножить на 2 минус 1 правая круглая скобка умножить на 2 минус 1 правая круглая скобка \ldots правая круглая скобка умножить на 2 минус 1 = 7 умножить на 2 в степени левая круглая скобка 22 правая круглая скобка минус 2 в степени левая круглая скобка 21 правая круглая скобка минус 2 в степени левая круглая скобка 20 правая круглая скобка минус \ldots минус 1 = 7 умножить на 2 в степени левая круглая скобка 22 правая круглая скобка минус левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка 22 правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка =$
$= 6 умножить на 2 в степени левая круглая скобка 22 правая круглая скобка плюс 1 больше 6 умножить на 4 умножить на левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка 10 правая круглая скобка правая круглая скобка в квадрате больше 6 умножить на 4 умножить на 1000 в квадрате = 24 000 000 больше 8 787 878,$ $левая круглая скобка \ldots левая круглая скобка левая круглая скобка 7 умножить на 2 минус 1 правая круглая скобка умножить на 2 минус 1 правая круглая скобка \ldots правая круглая скобка умножить на 2 минус 1 =$
$= 7 умножить на 2 в степени левая круглая скобка 22 правая круглая скобка минус 2 в степени левая круглая скобка 21 правая круглая скобка минус 2 в степени левая круглая скобка 20 правая круглая скобка минус \ldots минус 1 = 7 умножить на 2 в степени левая круглая скобка 22 правая круглая скобка минус левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка 22 правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка =$
$= 6 умножить на 2 в степени левая круглая скобка 22 правая круглая скобка плюс 1 больше 6 умножить на 4 умножить на левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка 10 правая круглая скобка правая круглая скобка в квадрате больше 6 умножить на 4 умножить на 1000 в квадрате = 24 000 000 больше 8 787 878,$ $левая круглая скобка \ldots левая круглая скобка левая круглая скобка 7 умножить на 2 минус 1 правая круглая скобка умножить на 2 минус 1 правая круглая скобка \ldots правая круглая скобка умножить на 2 минус 1 = 7 умножить на 2 в степени левая круглая скобка 22 правая круглая скобка минус 2 в степени левая круглая скобка 21 правая круглая скобка минус 2 в степени левая круглая скобка 20 правая круглая скобка минус \ldots минус 1 =$
$= 7 умножить на 2 в степени левая круглая скобка 22 правая круглая скобка минус левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка 22 правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка = 6 умножить на 2 в степени левая круглая скобка 22 правая круглая скобка плюс 1 больше 6 умножить на 4 умножить на левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка 10 правая круглая скобка правая круглая скобка в квадрате больше 6 умножить на 4 умножить на 1000 в квадрате =$
$= 24 000 000 больше 8 787 878,$ $левая круглая скобка \ldots левая круглая скобка левая круглая скобка 7 умножить на 2 минус 1 правая круглая скобка умножить на 2 минус 1 правая круглая скобка \ldots правая круглая скобка умножить на 2 минус 1 =$
$= 7 умножить на 2 в степени левая круглая скобка 22 правая круглая скобка минус 2 в степени левая круглая скобка 21 правая круглая скобка минус 2 в степени левая круглая скобка 20 правая круглая скобка минус \ldots минус 1 = 7 умножить на 2 в степени левая круглая скобка 22 правая круглая скобка минус левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка 22 правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка =$
$= 6 умножить на 2 в степени левая круглая скобка 22 правая круглая скобка плюс 1 больше 6 умножить на 4 умножить на левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка 10 правая круглая скобка правая круглая скобка в квадрате больше 6 умножить на 4 умножить на 1000 в квадрате =$
$= 24 000 000 больше 8 787 878,$

поэтому числа после 22 ходов станут больше 8 787 878.

в)  Заметим, что выражения

$\abs2a минус 1 минус левая круглая скобка a плюс b правая круглая скобка =\absa минус b минус 1,$

$\abs2b минус 1 минус левая круглая скобка a плюс b правая круглая скобка = \absb минус a минус 1 = \absa минус b плюс 1$

отличаются от $\absa минус b$ ровно на 1, причем в любую сторону, в которую нам захочется. То есть с каждой операцией разность между числами изменяется на 1. За 1001 действие она станет четной, но не нулем, значит, как минимум 2. Этого добиться можно, увеличив ее на 1 501 раз, а потом уменьшив на 1 500 раз.

Ответ: а)  нет; б)  нет в)  2.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в).	4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в)	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 467

Классификатор алгебры: Числа и их свойства

Спрятать решение · Спрятать критерии · Видеокурс · Помощь