а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

На сфере α вы­бра­ли пять точек: A, B, C, D и S. Из­вест­но, что AB  =  BC  =  CD  =  DA  =  4, SA  =  SB  =  SC  =  SD  =  7.

а)  До­ка­жи­те, что мно­го­гран­ник SABCD  — пра­виль­ная четырёхуголь­ная пи­ра­ми­да.

б)  Най­ди­те объём мно­го­гран­ни­ка SABCD.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

15-го ян­ва­ря пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на де­вять ме­ся­цев. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

  — 1-го числа каж­до­го ме­ся­ца долг воз­рас­та­ет на r про­цен­тов по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

  — со 2-го по 14-е число ме­ся­ца не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

  — 15-го числа каж­до­го ме­ся­ца долг дол­жен быть на одну и ту же сумму мень­ше долга на 15-е число преды­ду­ще­го ме­ся­ца.

Из­вест­но, что общая сумма вы­плат после пол­но­го по­га­ше­ния кре­ди­та на 25% боль­ше суммы, взя­той в кре­дит. Най­ди­те r.

В тра­пе­ции ABCD с ос­но­ва­ни­ем AD диа­го­на­ли пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O, AD  =  2BC. Через вер­ши­ну A про­ве­де­на пря­мая па­рал­лель­ная диа­го­на­ли  BD, а через вер­ши­ну  D про­ве­де­на пря­мая па­рал­лель­ная диа­го­на­ли  AC, и эти пря­мые пе­ре­се­ка­ют­ся в точке E.

а)  До­ка­жи­те, что BO : AE  =  1 : 2.

б)  Пря­мые BE и CE пе­ре­се­ка­ют сто­ро­ну AD в точ­ках M и N со­от­вет­ствен­но. Най­ди­те MN, если AD  =  10.

Най­ди­те все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет ровно два раз­лич­ных корня.

На доске на­пи­са­но не­сколь­ко раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел. Дроб­ная часть сред­не­го ариф­ме­ти­че­ско­го этих чисел равна 0,32 (то есть если вы­честь из сред­не­го ариф­ме­ти­че­ско­го этих чисел 0,32, то по­лу­чит­ся целое число).

а)  Могло ли на доске быть на­пи­са­но мень­ше 100 чисел?

б)  Могло ли на доске быть на­пи­са­но мень­ше 20 чисел?

в)  Най­ди­те наи­мень­шее воз­мож­ное зна­че­ние сред­не­го ариф­ме­ти­че­ско­го этих чисел.