Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 630132

На доске написано N различных натуральных чисел, каждое из которых не превосходит 99. Для любых двух написанных на доске чисел a и b, таких, что a < b, ни одно из написанных чисел не делится на b – a, и ни одно из написанных чисел не является делителем числа b – a.

а) Могли ли на доске быть написаны какие-то два числа из чисел 18, 19 и 20?

б) Среди написанных на доске чисел есть 17. Может ли N быть равно 25?

в) Найдите наибольшее значение N.

Спрятать решение

Решение.

а) Поскольку 20 делится на 20 минус 19 и 20 минус 18, а 19 делится на 19 минус 18, это невозможно.

б) Рассмотрим остатки от деления данных чисел на 17. Всего разных остатков 17, поэтому среди 25 чисел найдутся два числа с одинаковыми остатками. Их разность будет кратна 17. Ситуация невозможна.

в) Рассмотрим числа 35, 37, ..., 99. Разность любых двух из них четна, а они все нечетны, поэтому не могут делиться на разность. При этом максимальная разность равна 99 минус 35=64=2 умножить на 32, значит, все разности имеют вид 2n при n меньше или равно 32. Поскольку все числа нечетны, 2n может делиться на них, только если n делится. Но n меньше любого из них. В этом примере 33 числа.

Допустим, есть пример с 34 числами (если их больше — выкинем любые из них, оставив только 34). Рассуждения пункта б) показывают, что чисел, меньших 34, там быть не может, а рассуждения пункта а) — что среди чисел не может быть соседних. Значит, из каждой пары (34, 35), (36, 37), ..., (98, 99) есть максимум одно число. Тогда чисел не более чем количество пар, а их 33.

 

Ответ: а) нет, не могло; б) нет, не может; в) 33.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.2
Верно получен один из следующий результатов:

— обоснованное решение в п. а;

— пример в п. б;

— искомая оценка в п. в;

— пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл4

Аналоги к заданию № 630132: 630168 630200 Все

Источник: ЕГЭ по математике 02.06.2022. Основная волна. Санкт-Петербург, Москва, центр. Вариант 401, Задания 18 ЕГЭ–2022