Задумано несколько натуральных чисел (не обязательно различных). Эти числа и все их возможные произведения (по 2 числа, по 3 числа и т. д.) выписывают на доску. Если какое-то число n, выписанное на доску, повторяется несколько раз, то на доске оставляют одно такое число n, а остальные числа, равные n, стирают. Например, если задуманы числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет записан набор 1, 3, 4, 9, 12, 36.
а) Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90.
б) Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 3, 5, 7, 9, 15, 21, 35, 45, 105, 315, 945?
в) Приведите все примеры шести задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор, наибольшее число в котором равно 82.
а) Для чисел 2, 3, 3, 5 на доске будет записан набор 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90.
б) Среди задуманных чисел есть число 7, поскольку иначе оно бы не было записано на доску. Поскольку задуманные числа натуральные, наибольшее число в наборе — это произведение всех задуманных чисел. Значит, среди чисел записанного набора должно быть произведение всех чисел, кроме 7, то есть
в) Наибольшее число в наборе — это произведение всех задуманных чисел. Число 82 раскладывается на простые множители как 2 · 41. Значит, было задумано либо число 82 и пять единиц, либо пара чисел 2 и 41 и четыре единицы.
Ответ: а) 2, 3, 3, 5; б) нет; в) 1, 1, 1, 1, 1, 82 или 1, 1, 1, 1, 2, 41.