Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 513279

На доске было написано 20 натуральных чисел (не обязательно различных), каждое из которых не превосходит 40. Вместо некоторых из чисел (возможно, одного) на доске написали числа, меньшие первоначальных на единицу. Числа, которые после этого оказались равными 0, с доски стёрли.

а) Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое чисел на доске увеличилось?

б) Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 27. Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске чисел оказаться равным 34?

в) Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 27. Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел, которые остались на доске.

Спрятать решение

Решение.

а) Например, если были написаны по 10 раз числа 11 и 1 и со всеми провели эти действия, то их среднее было равно 6, а после описанных действий оно станет равно 10.

б) Пусть x количество изначально написанных единиц, которые превратятся в нули, а y — количество прочих уменьшаемых чисел. Тогда сумма всех чисел равна 27 умножить на 20 = 540, а сумма всех чисел, кроме будущих нулей, равна 540 минус x, и их 20 минус x штук.

После описанных действий будет 20 минус x чисел с общей суммой 540 минус x минус y. Значит,

 дробь: числитель: 540 минус x минус y, знаменатель: 20 минус x конец дроби = 34 равносильно 540 минус x минус y = 680 минус 34x равносильно 140 = 33x минус y.

Отсюда следует, что x больше или равно 5. Но тогда y больше или равно 33 умножить на 5 минус 140 = 25, что невозможно.

в) Обозначая как в пункте б) получаем, что нужно максимизировать значение выражения  дробь: числитель: 540 минус x минус y, знаменатель: 20 минус x конец дроби . Очевидно, следует взять y = 0 и максимизировать 1 плюс дробь: числитель: 520, знаменатель: 20 минус x конец дроби , то есть следует максимизировать x.

Заметим однако, что сумма изначальных чисел не превосходит x плюс 40(20 минус x), откуда 800 минус 39x больше или равно 540, 20 больше 3x, x меньше или равно 6. Тогда требуемое выражение будет равно 1 плюс дробь: числитель: 520, знаменатель: 14 конец дроби = целая часть: 38, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 7 . Это возможно, например, для набора из шести единиц, числа 14 и тринадцати чисел по 40, из которых уменьшают все единицы и только их, получая  дробь: числитель: 14 плюс 13 умножить на 40, знаменатель: 14 конец дроби = целая часть: 38, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 7 .

 

Ответ:а) да б) нет в)  целая часть: 38, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 7 .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.2
Верно получен один из следующий результатов:

— обоснованное решение в п. а;

— пример в п. б;

— искомая оценка в п. в;

— пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл4
Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2016