Из первых 22 натуральных чисел 1, 2, ..., 22 выбрали 2k различных чисел. Выбранные числа разбили на пары и посчитали суммы чисел в каждой паре. Оказалось, что все полученные суммы различны и не превосходят 27.
а) Может ли получиться так, что сумма всех 2k выбранных чисел равняется 170 и в каждой паре одно из чисел ровно в три раза больше другого?
б) Может ли число k быть равным 11?
в) Найдите наибольшее возможное значение числа k.
а) Если в каждой паре одно число втрое больше другого, то сумма чисел в каждой паре делится на 4. Значит, сумма всех выбранных чисел делится
б) Если 
то выбраны все 22 числа от 1 до 22. Их сумма равна 253. С другой стороны, по условию суммы чисел в каждой паре различны и не превосходят 27. Значит, их сумма не превосходит 
Полученное противоречие показывает, что число k не может быть равным 11.
в) В предыдущем пункте было показано, что k не может равняться 11. Десять пар (13; 14), (11; 15), (9; 16), (7; 17), (5; 18), (3; 19), (1; 20), (2; 8), (4; 10), (6; 12) удовлетворяют всем условиям задачи. Значит, наибольшее возможное значение числа k — это 10.
Ответ: а) нет; б) нет; в) 10.