а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие про­ме­жут­ку

Точки M и N со­от­вет­ствен­но  — се­ре­ди­ны ребер AB и BC пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды SABCD с вер­ши­ной S. Через точки M и N про­ве­де­на плос­кость α, ко­то­рая пе­ре­се­ка­ет ребра AS и CS в точ­ках P и Q со­от­вет­ствен­но. Ока­за­лось, что пря­мые PM и QN па­рал­лель­ны друг другу.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость α па­рал­лель­на ребру BS.

б)  Най­ди­те пло­щадь пя­ти­уголь­ни­ка, ко­то­рый по­лу­ча­ет­ся в се­че­нии пи­ра­ми­ды SABCD плос­ко­стью α, если из­вест­но, что AB  =  ⁠16 и BS  =  ⁠18.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Ва­ле­рий от­крыл вклад в банке, по ко­то­ро­му банк вы­пла­чи­ва­ет 8% го­до­вых. По до­го­во­ру вкла­да он может сни­мать со счёта день­ги не чаще од­но­го раза в год после на­чис­ле­ния бан­ком про­цен­тов. В конце вто­ро­го года Ва­ле­рий снял со счёта 229 000 руб­лей, а в конце тре­тье­го года он снял со счёта 350 000 руб­лей, после чего сумма на счёте со­ста­ви­ла 190 000 руб­лей. Какую сумму вно­сил Ва­ле­рий при от­кры­тии счёта?

Две окруж­но­сти пе­ре­се­ка­ют­ся в точ­ках P и Q. Через точку P про­ве­де­на ка­са­тель­ная к пер­вой из этих окруж­но­стей, пе­ре­се­ка­ю­щая вто­рую окруж­ность в точке L, а через точку Q про­ве­де­на ка­са­тель­ная ко вто­рой окруж­но­сти, пе­ре­се­ка­ю­щая первую окруж­ность в точке M.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые PM и QL па­рал­лель­ны.

б)  Най­ди­те наи­мень­шее воз­мож­ное зна­че­ние суммы длин от­рез­ков PM и QL, если PQ  =  ⁠1.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма

имеет един­ствен­ное ре­ше­ние.

На доске на­пи­са­ны числа 7 и 8. За один ход раз­ре­ше­но за­ме­нить на­пи­сан­ную на доске пару чисел a и b парой 2a – 1 и a + b (на­при­мер, из пары 7 и 8 за один ход можно по­лу­чить либо числа 13 и 15, либо числа 15 и 15).

а)  Может ли слу­чить­ся так, что после не­сколь­ких ходов одно из на­пи­сан­ных на доске чисел будет равно 99?

б)  Может ли слу­чить­ся так, что после 22 ходов одно из на­пи­сан­ных на доске чисел будет равно 8 787 878?

в)  После 1001 хода на доске по­лу­чи­ли пару чисел, не рав­ных друг другу. Какое наи­мень­шее зна­че­ние может иметь раз­ность между боль­шим и мень­шим из этих чисел.