а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной пи­ра­ми­де SABCDEF с вер­ши­ной S бо­ко­вое ребро вдвое боль­ше сто­ро­ны ос­но­ва­ния.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость, про­хо­дя­щая через се­ре­ди­ны ребер SA и SD и вер­ши­ну C, делит вы­со­ту SH тре­уголь­ни­ка ASB в от­но­ше­нии 2 : 1, счи­тая от вер­ши­ны S.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние, в ко­то­ром плос­кость, про­хо­дя­щая через се­ре­ди­ны ребер SA и SD и вер­ши­ну C, делит ребро SF, счи­тая от вер­ши­ны S.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Игнат 7 марта 2022 года по­ло­жил на вклад в банке 400 000 руб­лей. Усло­вия этого вкла­да та­ко­вы:

— в те­че­ние года за­пре­ща­ет­ся вы­пол­нять какие-либо опе­ра­ции с этим вкла­дом;

— через каж­дые 3 ме­ся­ца (до 7 марта 2023 года) банк уве­ли­чи­ва­ет сумму, к тому мо­мен­ту на­хо­дя­щу­ю­ся на вкла­де, на 0,25r%.

Ан­дрей 7 марта 2022 года по­ло­жил на вклад в банке 410 700 руб­лей под 20% го­до­вых. Усло­вия этого вкла­да та­ко­вы:

— в те­че­ние года за­пре­ща­ет­ся вы­пол­нять какие-либо опе­ра­ции с этим вкла­дом;

— 7 марта 2023 года банк уве­ли­чит вклад на 20%.

Из­вест­но, что Игнат через год по­лу­чит со счета боль­ше, чем Ан­дрей. Най­ди­те наи­мень­шее целое зна­че­ние  r.

Диа­го­на­ли вы­пук­ло­го че­ты­рех­уголь­ни­ка ABCD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке M. B тре­уголь­ни­ки AMB, BMC, CMD и AMD впи­са­ны окруж­но­сти с цен­тра­ми O₁, O₂, O₃ и O₄ со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что пло­щадь четырёхуголь­ни­ка O₁O₂O₃O₄ равна

б)  Пусть пря­мая O₂O₄ пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ны BC и AD в точ­ках P и Q со­от­вет­ствен­но. Най­ди­те от­но­ше­ние AQ : QD, если из­вест­но, что около че­ты­рех­уголь­ни­ка ABCD можно опи­сать окруж­ность, а от­но­ше­ние пло­ща­дей тре­уголь­ни­ков СМР и ВМР равно 3 : 2.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма урав­не­ний

имеет хотя бы одно ре­ше­ние.

На доске раз­ре­ша­ет­ся в одну стро­ку так на­пи­сать раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел чтобы для лю­бо­го число рав­ня­лось либо сумме, либо раз­но­сти, либо про­из­ве­де­нию, либо част­но­му взя­тых в не­ко­то­ром по­ряд­ке чисел и a_k. На­при­мер, этим пра­ви­лам удо­вле­тво­ря­ют 4 числа 3, 12, 4, 8, а также 5 чисел 8, 2, 4, 6, 24, на­пи­сан­ные в ука­зан­ном по­ряд­ке.

а)  Можно ли по этим пра­ви­лам так на­пи­сать n  =  5 чисел, чтобы среди них в не­ко­то­ром по­ряд­ке встре­ти­лись че­ты­ре числа 1, 2, 3 и 4?

б)  Можно ли по этим пра­ви­лам так на­пи­сать n  =  4 не­чет­ных числа, чтобы среди них в не­ко­то­ром по­ряд­ке встре­ти­лись три числа 3, 5 и 7?

в)  Какое наи­мень­шее зна­че­ние может при­ни­мать n, если на доске в не­ко­то­ром по­ряд­ке встре­ча­ют­ся числа 1, 2 и 8?