а)  За­ме­тим, что все по­яв­ля­ю­щи­е­ся на доске числа будут крат­ны 11, по­это­му на­пи­сать 2025 не по­лу­чит­ся.

б)  Да, на­при­мер, можно до­пи­сы­вать числа в таком по­ряд­ке:

Сумма чисел

в)  Раз­де­лим все числа на 11. Тогда из­на­чаль­но на доске будет на­пи­са­но число  1, а по­лу­чить надо будет число 891 : 11  =  81. Можно, на­при­мер, сде­лать это так  — по­сле­до­ва­тель­но по­лу­чать 2, 4, 5  =  4 + 1, 10, 20, 40, 80, 81  =  80 + 1. На это по­тре­бу­ет­ся 8 минут.

До­ка­жем, что семи минут не хва­тит. До­пу­стим, что такой спо­соб есть. Ясно, что по­след­ний ход не мог быть удво­е­ни­ем числа, по­сколь­ку 81 не­чет­но. Зна­чит, мы скла­ды­ва­ли два числа. На осталь­ные дей­ствия оста­ют­ся 6 минут.

За­ме­тим, что на каж­дом оче­ред­ном ходу по­лу­чен­ное число не более чем вдвое пре­вос­хо­дит мак­си­маль­ное из ранее на­пи­сан­ных чисел. По­это­му за 5 минут нель­зя сде­лать число, боль­шее, чем 32, а за 6 минут  — боль­шее, чем 64. Зна­чит, если число 81 было по­лу­че­но как сумма двух сла­га­е­мых, одно из ко­то­рых не боль­ше 16, то вто­рое не мень­ше 65 и для его по­лу­че­ния уже по­на­до­би­лось не менее 7 минут.

Итак, оба сла­га­е­мых на­хо­дят­ся в диа­па­зо­не от 17 до 64. Для по­лу­че­ния мень­ше­го из них по­на­до­би­лось не менее 5 минут, при­чем ис­поль­зо­вать для его по­лу­че­ния боль­шее из них было не­воз­мож­но. Кроме того, боль­шее долж­но быть не менее 41, по­сколь­ку Зна­чит, для его по­лу­че­ния по­на­до­би­лось не менее 6 минут. Сде­ла­ем сна­ча­ла все ходы для по­лу­че­ния мень­ше­го числа, те, ко­то­рые дают числа, боль­шие него, де­лать пока не будем. После этого одним ходом нужно будет по­лу­чить боль­шее. Зна­чит, оно пре­вос­хо­дит мень­шее не более чем вдвое, от­ку­да мень­шее не мень­ше 27, боль­шее не боль­ше 54. Кроме того, мень­шее не боль­ше 32, иначе уже для его по­лу­че­ния по­на­до­бят­ся 6 минут и по­лу­чить боль­шее мы про­сто не успе­ем. Итак, оста­лось объ­яс­нить, по­че­му нель­зя за 6 минут по­лу­чить ни одну из пар (27, 54), (28, 53), (29, 52), (30, 51), (31, 50), (32, 49).

Во всех этих парах кроме пер­вой боль­шее число не яв­ля­ет­ся удво­ен­ным мень­шим, по­это­му един­ствен­ное до­пол­ни­тель­ное дей­ствие долж­но быть либо удво­е­ни­ем дру­го­го числа, не мень­ше­го 25, либо сум­ми­ро­ва­ни­ем двух чисел, одно из ко­то­рых не пре­вос­хо­дит 32 и по­то­му вто­рое не менее 17, зна­чит, мы долж­ны были по­лу­чить перед этим дей­стви­ем еще одно число, не мень­шее 17, на что по­тре­бо­вал­ся до­пол­ни­тель­ный ход.

Остал­ся во­прос, нель­зя ли за 5 минут по­лу­чить 27, то есть ше­стым ходом удво­ить его, а седь­мым сло­жить 27 и 54. Ясно, что по­след­ним дей­стви­ем при его по­лу­че­нии было сло­же­ние, при­чем ни одно сла­га­е­мое не могло быть боль­ше 16, иначе для него по­на­до­би­лось бы уже 5 минут. То есть это были 13 + 14, 12 + 15 или 11 + 16. Каж­дое из этих чисел не мень­ше 9 и по­то­му тре­бу­ет не менее 4 минут. За эти 4 ми­ну­ты удаст­ся по­лу­чить лишь одно число, боль­шее 8.

Ответ: а  нет; б)  да; в)  8.