а)  Ре­ши­те урав­не­ние 

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Длина диа­го­на­ли куба ABCDA₁B₁C₁D₁ равна 3. На луче A₁C от­ме­че­на точка P так, что A₁P  =  4.

а)  До­ка­жи­те, что PBDC₁  — пра­виль­ный тет­ра­эдр.

б)  Най­ди­те длину от­рез­ка AP.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Точка M  — се­ре­ди­на ги­по­те­ну­зы AB пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC. Се­ре­дин­ный пер­пен­ди­ку­ляр к ги­по­те­ну­зе пе­ре­се­ка­ет катет BC в точке N.

а)  До­ка­жи­те, что ∠CAN = ∠CMN.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние ра­ди­у­сов окруж­но­стей, опи­сан­ных около тре­уголь­ни­ков ANB и CBM, если

В июле 2026 года пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на три года в раз­ме­ре S млн руб­лей, где S  — целое число. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

− каж­дый ян­варь долг уве­ли­чи­ва­ет­ся на 20% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года;

− с фев­ра­ля по июнь каж­до­го года не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить одним пла­те­жом часть долга;

− в июле каж­до­го года долг дол­жен со­став­лять часть кре­ди­та в со­от­вет­ствии со сле­ду­ю­щей таб­ли­цей:

Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние S, при ко­то­ром каж­дая из вы­плат будет мень­ше 5 млн руб­лей.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма не­ра­венств

имеет хотя бы одно ре­ше­ние на от­рез­ке [−1; 0].

На доске на­пи­са­но не­сколь­ко (более од­но­го) раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел, при­чем любые два из них от­ли­ча­ют­ся не более чем в три раза.

а)  Может ли на доске быть 5 чисел, сумма ко­то­рых равна 47?

б)  Может ли на доске быть 10 чисел, сумма ко­то­рых равна 94? 

в)  Сколь­ко может быть чисел на доске, если их про­из­ве­де­ние равно 8000?