Шо­ко­лад­ка стоит 30 руб­лей. В вос­кре­се­нье в су­пер­мар­ке­те дей­ству­ет спе­ци­аль­ное пред­ло­же­ние: за­пла­тив за три шо­ко­лад­ки, по­ку­па­тель по­лу­ча­ет че­ты­ре (одну  — в по­да­рок). Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство шо­ко­ла­док можно по­лу­чить, по­тра­тив не более 140 руб­лей в вос­кре­се­нье?

На диа­грам­ме по­ка­за­но рас­пре­де­ле­ние вы­плав­ки меди в 11 стра­нах мира (в ты­ся­чах тонн) за 2006 год. Среди пред­став­лен­ных стран пер­вое место по вы­плав­ке меди за­ни­ма­ла Папуа–Новая Гви­нея, один­на­дца­тое место  — Индия. Какое место за­ни­ма­ла Бол­га­рия?

На клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1×1 изоб­ражён ромб. Най­ди­те его пло­щадь.

Ве­ро­ят­ность того, что в слу­чай­ный мо­мент вре­ме­ни тем­пе­ра­ту­ра тела здо­ро­во­го че­ло­ве­ка ока­жет­ся ниже чем 36,8 °C, равна 0,91. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что в слу­чай­ный мо­мент вре­ме­ни у здо­ро­во­го че­ло­ве­ка тем­пе­ра­ту­ра ока­жет­ся 36,8 °C или выше.

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния

В тре­уголь­ни­ке ABC сто­ро­на AB равна угол С равен 120°. Най­ди­те ра­ди­ус опи­сан­ной около этого тре­уголь­ни­ка окруж­но­сти.

На ри­сун­ке изоб­ра­же­ны гра­фик функ­ции и ка­са­тель­ная к нему в точке с абс­цис­сой Най­ди­те зна­че­ние про­из­вод­ной функ­ции в точке

Через сред­нюю линию ос­но­ва­ния тре­уголь­ной приз­мы про­ве­де­на плос­кость, па­рал­лель­ная бо­ко­во­му ребру. Най­ди­те объём этой приз­мы, если объём отсечённой тре­уголь­ной приз­мы равен 7.

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

Два тела, мас­сой m   =  6 кг каж­дое, дви­жут­ся с оди­на­ко­вой ско­ро­стью υ = 9 м/c под углом друг к другу. Энер­гия (в Дж), вы­де­ля­ю­ща­я­ся при их аб­со­лют­но не­упру­гом со­уда­ре­нии, вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле , где m  — масса (в кг), υ   — ско­рость (в м/с). Най­ди­те, под каким углом долж­ны дви­гать­ся тела, чтобы в ре­зуль­та­те со­уда­ре­ния вы­де­ли­лась энер­гия, рав­ная 243 Дж. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Име­ет­ся два спла­ва. Пер­вый сплав со­дер­жит 45% меди, вто­рой  — 20% меди. Масса пер­во­го спла­ва боль­ше массы вто­ро­го на 30 кг. Из этих двух спла­вов по­лу­чи­ли тре­тий сплав, со­дер­жа­щий 40% меди. Най­ди­те массу тре­тье­го спла­ва. Ответ дайте в ки­ло­грам­мах.

Най­ди­те точку ми­ни­му­ма функ­ции

а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­де SABCD сто­ро­на ос­но­ва­ния AB равна 6, а бо­ко­вое ребро SA  =  7. На рёбрах CD и SC от­ме­че­ны точки N и K со­от­вет­ствен­но, причём DN : NC  =  SK : KC  =  1 : 2. Плос­кость α со­дер­жит пря­мую KN и па­рал­лель­на пря­мой BC.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость α па­рал­лель­на SA

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стя­ми и SBC.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

В тре­уголь­ни­ке ABC угол A равен 120° . Пря­мые, со­дер­жа­щие вы­со­ты BM и CN тре­уголь­ни­ка ABC, пе­ре­се­ка­ют­ся в точке H. Точка O  — центр окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABC.

а)  До­ка­жи­те, что AH  =  AO.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка AHO, если BC  =  3,

В июле пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на сумму 10 млн руб­лей на не­ко­то­рый срок (целое число лет). Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

  — каж­дый ян­варь долг воз­рас­та­ет на 10% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года;

  — с фев­ра­ля по июнь каж­до­го года не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

  — в июле каж­до­го года долг дол­жен быть на одну и ту же сумму мень­ше долга на июль преды­ду­ще­го года.

На сколь­ко лет пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит, если из­вест­но, что общая сумма вы­плат после его пол­но­го по­га­ше­ния со­ста­вит 15 млн руб­лей?

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет ровно два раз­лич­ных корня.

В те­че­ние n дней каж­дый день на доску за­пи­сы­ва­ют на­ту­раль­ные числа, каж­дое из ко­то­рых мень­ше 6. При этом каж­дый день (кроме пер­во­го) сумма чисел, за­пи­сан­ных на доску в этот день, боль­ше, а ко­ли­че­ство мень­ше, чем в преды­ду­щий день.

а)  Может ли n быть боль­ше 6?

б)  Может ли сред­нее ариф­ме­ти­че­ское чисел, за­пи­сан­ных в пер­вый день, быть мень­ше 2, а сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех чисел, за­пи­сан­ных за все дни, быть боль­ше 4?

в)  Из­вест­но, что сумма чисел, за­пи­сан­ных в пер­вый день, равна 5. Какое наи­боль­шее зна­че­ние может при­ни­мать сумма всех чисел, за­пи­сан­ных за все дни?