На доске было написано 30 натуральных чисел (необязательно различных), каждое из которых больше 2, но не превосходит 42. Среднее арифметическое написанных чисел равнялось 6. Вместо каждого из чисел на доске написали число, в два раза меньше первоначального. Числа, которые после этого оказались меньше 2, с доски стерли.
а) Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое чисел, оставшихся на доске, больше 10?
б) Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске оказаться больше 8, но меньше 9?
в) Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел, которые остались на доске.
Пусть среди чисел было x троек (они пропадут после этих действий). Тогда сумма остальных 
чисел была равна 
Все эти числа уменьшились вдвое, поэтому новая сумма составляет 
а) Да. Пусть были написаны числа 3, 3, 3, ..., 3 (27 раз), а также 33, 33, 33. После описанных действий получатся три числа по 16,5, поэтому и среднее будет 16,5.
б) Нужно, чтобы число 
лежало в интервале (8; 9). Это дает неравенства 
откуда 
и 
Значит, 
и 
Это невозможно при целых x.
в) Нужно найти наибольшее значение 
Очевидно, чем больше x, тем меньше знаменатель дроби, больше сама дробь и больше нужное выражение. При этом сумма всех чисел не превосходит 
откуда
Итак, максимальное x равно 27, и для него получаем, что 
Соответствующий пример приведен в пункте а).
Ответ: а) да; б) нет; в) 16,5.