а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

На реб­рах BC, AB и AD пра­виль­но­го тет­ра­эд­ра ABCD от­ме­че­ны точки L, M и N со­от­вет­ствен­но. Из­вест­но, что BL : LC  =  AM : MB  =  AN : ND  =  1 : 2.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость α, про­хо­дя­щая через точки L, M и N, делит ребро CD в от­но­ше­нии 2 : 1, счи­тая от вер­ши­ны C.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния тет­ра­эд­ра ABCD плос­ко­стью α, если AB  =  6.

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC сто­ро­на ос­но­ва­ния AB равна 3, а бо­ко­вое ребро SA равно 5. На ребре AC от­ме­че­на точка M, а на про­дол­же­нии ребра BC за точку C  — точка N так, что CM  =  CN  =  1.

а)  До­ка­жи­те, что се­че­ние пи­ра­ми­ды SABC плос­ко­стью SNM яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ным тре­уголь­ни­ком.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды SABC плос­ко­стью SNM.

Плос­кость α пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ос­но­ва­ния ABCD пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­ды SABCD и пе­ре­се­ка­ет ребро SA в точке K. Се­че­ние пи­ра­ми­ды плос­ко­стью α яв­ля­ет­ся пра­виль­ным тре­уголь­ни­ком пло­ща­дью 

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость α пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой AC.

б)  В каком от­но­ше­нии точка K лежит ребро SA, счи­тая от вер­ши­ны S, если объём пи­ра­ми­ды равен 

В пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­де SABCD из­вест­но, что AB  =  2. Через точку O пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей ос­но­ва­ния пер­пен­ди­ку­ляр­но ребру SC про­ве­ли плос­кость α.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость α про­хо­дит через вер­ши­ны B и D.

б)  В каком от­но­ше­нии плос­кость α делит ребро SC, счи­тая от вер­ши­ны S, если пло­щадь се­че­ния равна 

В пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­де SABCD через ребро AB про­ве­ли плос­кость α, об­ра­зу­ю­щую се­че­ние ABMN, где M и N  — точки пе­ре­се­че­ния плос­ко­сти α с бо­ко­вы­ми рёбрами SC и SD со­от­вет­ствен­но. Из­вест­но, что

а)  До­ка­жи­те, что точки M и N делят ребра SC и SD в от­но­ше­нии 1 : 3, счи­тая от вер­ши­ны S.

б)  Най­ди­те ко­си­нус угла между плос­ко­стью ос­но­ва­ния ABCD и плос­ко­стью α.

В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме ABCA₁B₁C₁ все ребра равны, на ребре AA₁ от­ме­че­на точка M. Из­вест­но, что AM  = 3MA₁. Через точки M и C₁ про­ве­ли плос­кость α пер­пен­ди­ку­ляр­но грани ABB₁A₁.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость α делит ребро A₁B₁ по­по­лам.

б)  Най­ди­те вы­со­ту приз­мы, если пло­щадь се­че­ния приз­мы ABCA₁B₁C₁ плос­ко­стью α равна 

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

15 де­каб­ря 2026 года пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит раз­ме­ром A мил­ли­о­нов руб­лей на 24 ме­ся­ца. Усло­вия воз­вра­та кре­ди­та та­ко­вы:

—  1-⁠го числа каж­до­го ме­ся­ца сумма долга воз­рас­та­ет на 4% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

—  со 2-⁠го по 14-⁠е число каж­до­го ме­ся­ца не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить одним пла­те­жом часть долга;

—  15-⁠го числа каж­до­го ме­ся­ца долг дол­жен быть на одну и ту же ве­ли­чи­ну мень­ше долга на 15-⁠е число преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

—  к 15 де­каб­ря 2028 года долг дол­жен быть пол­но­стью по­га­шен.

Чему равно A, если общая сумма пла­те­жей в 2027 году со­ста­вит 2610 тысяч руб­лей?

15 де­каб­ря 2026 года пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на сумму 18 мил­ли­о­нов руб­лей на 36 ме­ся­цев. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

—  1-⁠го числа каж­до­го ме­ся­ца долг воз­рас­та­ет на r% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

—  со 2-⁠го по 14-⁠е число каж­до­го ме­ся­ца не­об­хо­ди­мо одним пла­те­жом опла­тить часть долга;

—  15-⁠го числа каж­до­го ме­ся­ца долг дол­жен быть на одну и ту же ве­ли­чи­ну мень­ше долга на 15-⁠е число преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

—  к 15 де­каб­ря 2029 года кре­дит дол­жен быть пол­но­стью по­га­шен.

Чему равно r, если общая сумма пла­те­жей в 2027 году со­ста­ви­ла 7830 тысяч руб­лей?

15 де­каб­ря 2026 года пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на сумму 12 млн руб­лей на 48 ме­ся­цев. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

—  1-⁠го числа каж­до­го ме­ся­ца долг воз­рас­та­ет на r % по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

—  со 2-⁠го по 14-⁠е число каж­до­го ме­ся­ца не­об­хо­ди­мо опла­тить часть долга;

—  15-⁠го числа каж­до­го ме­ся­ца долг дол­жен быть на одну и ту же ве­ли­чи­ну мень­ше долга на 15-⁠е число преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

—  15 де­каб­ря 2030 года долг дол­жен быть пол­но­стью по­га­шен.

Чему равно r, если общая сумма пла­те­жей в 2030 году со­ста­вит 3195 тыс. руб­лей?

15 де­каб­ря 2026 года пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на 16 ме­ся­цев. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

—  1-⁠го числа каж­до­го ме­ся­ца долг воз­рас­та­ет на 2% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

—  со 2-⁠го по 14-⁠е число каж­до­го ме­ся­ца не­об­хо­ди­мо одним пла­те­жом опла­тить часть долга;

—  15-⁠го числа каж­до­го ме­ся­ца с 1-⁠го по 15-⁠й (с ян­ва­ря 2027 года по март 2028 года вклю­чи­тель­но) долг дол­жен быть на одну и ту же сумму мень­ше долга на 15-⁠е число преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

—  15 марта 2028 года долг со­ста­вит 200 тысяч руб­лей;

—  15 ап­ре­ля 2028 года кре­дит дол­жен быть пол­но­стью по­га­шен.

Какую сумму пла­ни­ру­ет­ся взять в кре­дит, если общая сумма пла­те­жей после пол­но­го его по­га­ше­ния со­ста­вит 612 тысяч руб­лей?

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке АВС про­ве­де­на вы­со­та СН из вер­ши­ны пря­мо­го угла, АМ и СN  — бис­сек­три­сы тре­уголь­ни­ков ACH и ВСН со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые АМ и СN пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те длину от­рез­ка МN, если ВС  =  21 и

В четырёхуголь­ник KLMN впи­са­на окруж­ность с цен­тром O. Эта окруж­ность ка­са­ет­ся сто­ро­ны MN в точке A. Из­вест­но, что

а)  До­ка­жи­те, что точка А лежит на пря­мой LO.

б)  Най­ди­те длину сто­ро­ны МN, если LA  =  3.

В тре­уголь­ни­ке ABC угол ACB равен 30°, от­рез­ки AH и AM  — вы­со­та и ме­ди­а­на со­от­вет­ствен­но, при­чем точка H лежит на от­рез­ке BM. От­ре­зок MQ  — вы­со­та тре­уголь­ни­ка AMC, а пря­мые AH и MQ пе­ре­се­ка­ют­ся в точке F. Из­вест­но, что AM  — бис­сек­три­са угла CAH.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник ABC пря­мо­уголь­ный.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка CMF, если AB  =  8.

В па­рал­ле­ло­грам­ме ABCD c ост­рым углом BAD из вер­ши­ны B про­ве­де­ны вы­со­ты BP и BQ, при­чем точка P лежит на сто­ро­не AD, а точка Q  — на сто­ро­не CD. На сто­ро­не AD от­ме­че­на точка M. Из­вест­но, что AM  =  BP, AB  =  BQ.

а)  До­ка­жи­те, что BM  =  PQ.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка APQ, если AM  =  BP  =  21, AB  =  BQ  =  29.

Най­ди­те все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет ровно два раз­лич­ных корня.

Най­ди­те все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет ровно один ко­рень.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет ровно два раз­лич­ных корня.

Най­ди­те все зна­че­ния a, при ко­то­рых урав­не­ние

имеет ровно два раз­лич­ных корня.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет ровно два раз­лич­ных корня.

а)  При­ве­ди­те при­мер се­ми­знач­но­го числа, из ко­то­ро­го, вы­чер­ки­вая цифры, можно по­лу­чить каж­дое из чисел: 206, 835, 930.

б)  Су­ще­ству­ет ли вось­ми­знач­ное число, из ко­то­ро­го, вы­чер­ки­вая цифры, можно по­лу­чить каж­дое из чисел: 247, 345, 586, 812.

в)  Най­ди­те наи­мень­шее на­ту­раль­ное число, из ко­то­ро­го можно по­лу­чить все на­ту­раль­ные числа от 1 до 50 вклю­чи­тель­но, вы­чер­ки­вая цифры.

На доске за­пи­са­но 10 на­ту­раль­ных чисел, среди ко­то­рых нет оди­на­ко­вых. Ока­за­лось, что сред­нее ариф­ме­ти­че­ское любых трёх, четырёх, пяти или шести чисел из за­пи­сан­ных яв­ля­ет­ся целым чис­лом. Одно из за­пи­сан­ных чисел равно 30 033.

а)  Может ли среди за­пи­сан­ных на доске чисел быть число 303?

б)  Может ли от­но­ше­ние двух за­пи­сан­ных на доске чисел рав­нять­ся 31?

в)  От­но­ше­ние двух за­пи­сан­ных на доске чисел яв­ля­ет­ся целым чис­лом n. Най­ди­те наи­мень­шее воз­мож­ное зна­че­ние n.

На доске за­пи­са­но не­ко­то­рое ко­ли­че­ство по­сле­до­ва­тель­ных на­ту­раль­ных чисел, среди ко­то­рых ровно пять де­лят­ся на 15.

а)  Могло ли среди за­пи­сан­ных чисел быть боль­ше 5 чисел, де­ля­щих­ся на 16?

б)  Могло ли среди за­пи­сан­ных чисел быть мень­ше пяти чисел, де­ля­щих­ся на 11?

в)  Най­ди­те наи­боль­шее воз­мож­ное число k такое, что среди за­пи­сан­ных чисел боль­ше пяти чисел де­лят­ся на k.

На доске на­пи­са­но 10 на­ту­раль­ных чисел, среди ко­то­рых нет оди­на­ко­вых. Ока­за­лось, что сред­нее ариф­ме­ти­че­ское любых че­ты­рех или семи чисел из за­пи­сан­ных яв­ля­ет­ся целым чис­лом.

а)  Могут ли среди за­пи­сан­ных на доске чисел од­но­вре­мен­но быть числа 567 и 1414?

б)  Может ли одно из за­пи­сан­ных на доске чисел быть квад­ра­том дру­го­го, если среди за­пи­сан­ных на доске чисел есть число 567?

в)  Из­вест­но, что среди за­пи­сан­ных на доске чисел есть число n и его квад­рат n². Най­ди­те наи­мень­шее воз­мож­ное зна­че­ние n.

На доске на­пи­са­но 10 на­ту­раль­ных чисел, среди ко­то­рых нет оди­на­ко­вых. Ока­за­лось, что сред­нее ариф­ме­ти­че­ское любых пяти или шести чисел из за­пи­сан­ных яв­ля­ет­ся целым чис­лом.

а)  Могут ли среди за­пи­сан­ных на доске чисел од­но­вре­мен­но быть числа 602 и 1512?

б)  Может ли одно из за­пи­сан­ных на доске чисел быть квад­ра­том на­ту­раль­но­го числа, если среди за­пи­сан­ных на доске чисел есть число 602?

в)  Из­вест­но, что среди за­пи­сан­ных на доске чисел есть число 1 и квад­рат n² на­ту­раль­но­го числа n, боль­ше­го 1. Най­ди­те наи­мень­шее воз­мож­ное зна­че­ние n.