Ост­рый угол B пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC равен 61°. Най­ди­те угол между вы­со­той CH и бис­сек­три­сой CD, про­ведёнными из вер­ши­ны пря­мо­го угла. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Даны век­то­ры и Най­ди­те ска­ляр­ное про­из­ве­де­ние

Около ко­ну­са опи­са­на сфера (сфера со­дер­жит окруж­ность ос­но­ва­ния ко­ну­са и его вер­ши­ну). Центр сферы на­хо­дит­ся в цен­тре ос­но­ва­ния ко­ну­са. Ра­ди­ус сферы равен Най­ди­те об­ра­зу­ю­щую ко­ну­са.

На олим­пиа­де по рус­ско­му языку 400 участ­ни­ков раз­ме­сти­ли в трёх ауди­то­ри­ях. В пер­вых двух уда­лось раз­ме­стить по 120 че­ло­век, остав­ших­ся пе­ре­ве­ли в за­пас­ную ауди­то­рию в дру­гом кор­пу­се. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что слу­чай­но вы­бран­ный участ­ник писал олим­пи­а­ду в за­пас­ной ауди­то­рии.

В тор­го­вом цен­тре два оди­на­ко­вых ав­то­ма­та про­да­ют кофе. Об­слу­жи­ва­ние ав­то­ма­тов про­ис­хо­дит по ве­че­рам после за­кры­тия цен­тра. Из­вест­но, что ве­ро­ят­ность со­бы­тия «К ве­че­ру в пер­вом ав­то­ма­те за­кон­чит­ся кофе» равна 0,25. Такая же ве­ро­ят­ность со­бы­тия «К ве­че­ру во вто­ром ав­то­ма­те за­кон­чит­ся кофе». Ве­ро­ят­ность того, что кофе к ве­че­ру за­кон­чит­ся в обоих ав­то­ма­тах, равна 0,15. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что к ве­че­ру кофе оста­нет­ся в обоих ав­то­ма­тах.

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния:

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции и ка­са­тель­ная к нему в точке с абс­цис­сой x₀. Най­ди­те зна­че­ние про­из­вод­ной функ­ции f(x) в точке x₀.

Ав­то­мо­биль раз­го­ня­ет­ся на пря­мо­ли­ней­ном участ­ке шоссе с по­сто­ян­ным уско­ре­ни­ем Ско­рость (в км/ч) вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле где l  — прой­ден­ный ав­то­мо­би­лем путь (в км). Най­ди­те, сколь­ко ки­ло­мет­ров про­едет ав­то­мо­биль к мо­мен­ту, когда он раз­го­нит­ся до ско­ро­сти 90 км/ч.

От при­ста­ни A к при­ста­ни B, рас­сто­я­ние между ко­то­ры­ми равно 420 км, от­пра­вил­ся с по­сто­ян­ной ско­ро­стью пер­вый теп­ло­ход, а через 1 час после этого сле­дом за ним, со ско­ро­стью на 1 км/⁠ч боль­шей, от­пра­вил­ся вто­рой. Най­ди­те ско­рость пер­во­го теп­ло­хо­да, если в пункт В оба теп­ло­хо­да при­бы­ли од­но­вре­мен­но. Ответ дайте в км/ч.

На ри­сун­ке изоб­ра­же­ны гра­фи­ки функ­ций и пе­ре­се­ка­ю­щи­е­ся в точ­ках A и B. Най­ди­те абс­цис­су точки B.

Най­ди­те точку мак­си­му­ма функ­ции

а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме ABCA₁B₁C₁ от­ме­ти­ли точки M и K на реб­рах AA₁ и A₁B₁ со­от­вет­ствен­но. Из­вест­но, что A₁M  =  2AM, A₁K  =  KB₁. Через точки M и K про­ве­ли плос­кость α пер­пен­ди­ку­ляр­но плос­ко­сти ABB₁A₁.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость α про­хо­дит через вер­ши­ну C₁.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния приз­мы ABCA₁B₁C₁ плос­ко­стью α, если все ребра приз­мы равны 20.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

15 де­каб­ря 2026 года пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на сумму 18 мил­ли­о­нов руб­лей на 36 ме­ся­цев. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

—  1-⁠го числа каж­до­го ме­ся­ца долг воз­рас­та­ет на 2% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

—  со 2-⁠го по 14-⁠е число каж­до­го ме­ся­ца не­об­хо­ди­мо одним пла­те­жом опла­тить часть долга;

—  15-⁠го числа каж­до­го ме­ся­ца долг дол­жен быть на одну и ту же ве­ли­чи­ну мень­ше долга на 15-⁠е число преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

—  к 15 де­каб­ря 2029 года кре­дит дол­жен быть пол­но­стью по­га­шен.

Чему равна общая сумма пла­те­жей в 2027 году?

Дан ост­ро­уголь­ный тре­уголь­ник ABC. Из­вест­но, что Точка O  — центр опи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка ABC. Во­круг тре­уголь­ни­ка AOC опи­са­на окруж­ность, ко­то­рая пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну BC в точке P.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ни­ки ABC и PAC по­доб­ны.

б)  Най­ди­те AB, если BC  =  6 и AC  =  4.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет ровно два раз­лич­ных корня.

На доске за­пи­са­но k по­сле­до­ва­тель­ных на­ту­раль­ных чисел. Ока­за­лось, что среди них чисел, де­ля­щих­ся на 20, мень­ше, чем чисел, де­ля­щих­ся на 23.

а)  Могло ли среди за­пи­сан­ных чисел быть ровно три числа, де­ля­щих­ся на 20?

б)  Могло ли среди за­пи­сан­ных чисел быть ровно де­сять чисел, де­ля­щих­ся на 20?

в)  Най­ди­те наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние k.