ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 19 № 527223 Добавить в вариант

На доске написано 19 натуральных чисел (необязательно различных), каждое из которых не превосходит 11. Среднее арифметическое написанных на доске чисел равно 10. С этими числами произвели следующие действия: четные числа разделили на 2, а нечетные  — умножили на 2. Пусть А  — среднее арифметическое полученных чисел.

а)  Могли ли оказаться так, что $A=17?$

б)  Могли ли оказаться так, что $A=7?$

в)  Найдите наибольшее возможное значение А.

Спрятать решение

Решение.

а)  Сумма этих чисел равна $19 умножить на 10=190.$ Мы хотим, чтобы она стала $19 умножить на 17=323.$ Пусть сумма четных составляла $2X,$ а сумма нечетных Y. Тогда $2X плюс Y=190,$ $2Y плюс X=323.$ Решая эту систему, находим $X=19,$ $Y=152.$ Это возможно. Пусть, например, изначально были записаны 13 раз число 11, один раз число 9, четыре раза число 8 и один раз число 6.

б)  Аналогично, составляя систему, получим $2X плюс Y=190,$ $2Y плюс X=133,$ откуда $3 левая круглая скобка X плюс Y правая круглая скобка =323,$ что невозможно для целых X и Y.

в)  Аналогично, составляя систему, получим $2X плюс Y=190,$ $2Y плюс X=19A,$ откуда $X= дробь: числитель: 380 минус 19A, знаменатель: 3 конец дроби ,$ $Y= дробь: числитель: 38A минус 190, знаменатель: 3 конец дроби .$ Тогда $X больше или равно 1,$ поэтому $19A меньше или равно 377.$ Если взять $X=1$ и $Y=188$ (например для набора 2, 1 и 17 раз по 11).

Ответ: а)  да; б)  нет; в)   $дробь: числитель: 377, знаменатель: 19 конец дроби = целая часть: 19, дробная часть: числитель: 16, знаменатель: 19 .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	2
Верно получен один из следующих результатов: ―  пример в п. а; ―  обоснованное решение п. б; ―  обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1); ―  обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

Аналоги к заданию № 527223: 635091 Все

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 245

Классификатор алгебры: Числа и их свойства

Спрятать решение · Спрятать критерии · Видеокурс · Помощь