В лет­нем ла­ге­ре 164 ребёнка и 23 вос­пи­та­те­ля. Ав­то­бус рас­счи­тан не более чем на 45 пас­са­жи­ров. Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство ав­то­бу­сов по­на­до­бит­ся, чтобы за один раз пе­ре­вез­ти всех из ла­ге­ря в город?

На диа­грам­ме по­ка­за­на сред­не­ме­сяч­ная тем­пе­ра­ту­ра воз­ду­ха в Сим­фе­ро­по­ле за каж­дый месяц 1988 года. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ют­ся ме­ся­цы, по вер­ти­ка­ли  — тем­пе­ра­ту­ра в гра­ду­сах Цель­сия. Опре­де­ли­те по при­ведённой диа­грам­ме, сколь­ко ме­ся­цев сред­не­ме­сяч­ная тем­пе­ра­ту­ра пре­вы­ша­ла 20 гра­ду­сов Цель­сия.

На клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1×1 изоб­ра­жен па­рал­ле­ло­грамм. Най­ди­те его пло­щадь.

На­уч­ная кон­фе­рен­ция про­во­дит­ся в 4 дня. Всего за­пла­ни­ро­ва­но 30 до­кла­дов: в пер­вые два дня по 9 до­кла­дов, осталь­ные рас­пре­де­ле­ны по­ров­ну между тре­тьим и четвёртыми днями. На кон­фе­рен­ции пла­ни­ру­ет­ся до­клад про­фес­со­ра М. По­ря­док до­кла­дов опре­де­ля­ет­ся же­ребьёвкой. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что до­клад про­фес­со­ра М. ока­жет­ся за­пла­ни­ро­ван­ным на по­след­ний день кон­фе­рен­ции?

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния

От­рез­ки AC и BD  — диа­мет­ры окруж­но­сти с цен­тром O. Угол AOD равен 66°. Най­ди­те впи­сан­ный угол ACB. Ответ дайте в гра­ду­сах.

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик   — про­из­вод­ной функ­ции опре­делённой на от­рез­ке (−11; 2). Най­ди­те абс­цис­су точки, в ко­то­рой ка­са­тель­ная к гра­фи­ку функ­ции па­рал­лель­на оси абс­цисс или сов­па­да­ет с ней.

Объём тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды равен 94. Через вер­ши­ну пи­ра­ми­ды и сред­нюю линию её ос­но­ва­ния про­ве­де­на плос­кость (см. рис.). Най­ди­те объём отсечённой тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды.

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

Для на­гре­ва­тель­но­го эле­мен­та не­ко­то­ро­го при­бо­ра экс­пе­ри­мен­таль­но была по­лу­че­на за­ви­си­мость тем­пе­ра­ту­ры (в кель­ви­нах) от вре­ме­ни ра­бо­ты:где t  — время (в мин.), T₀  =  680 К, а  =  −16 К/мин², b  =  224 К/мин. Из­вест­но, что при тем­пе­ра­ту­ре на­гре­ва­тель­но­го эле­мен­та свыше 1400 К при­бор может ис­пор­тить­ся, по­это­му его нужно от­клю­чить. Най­ди­те, через какое наи­боль­шее время после на­ча­ла ра­бо­ты нужно от­клю­чить при­бор. Ответ дайте в ми­ну­тах.

Име­ет­ся два спла­ва. Пер­вый сплав со­дер­жит 5% меди, вто­рой  — 14% меди. Масса вто­ро­го спла­ва боль­ше массы пер­во­го на 10 кг. Из этих двух спла­вов по­лу­чи­ли тре­тий сплав, со­дер­жа­щий 12% меди. Най­ди­те массу тре­тье­го спла­ва. Ответ дайте в ки­ло­грам­мах.

Най­ди­те точку ми­ни­му­ма функ­ции

а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­ще­го от­рез­ку

В пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­де SABCD сто­ро­на AB ос­но­ва­ния равна 16, а вы­со­та пи­ра­ми­ды равна 4. На рёбрах AB, CD и AS от­ме­че­ны точки M, N и K со­от­вет­ствен­но, причём AM  =  DN  =  4 и AK  =  3.

а)  До­ка­жи­те, что плос­ко­сти MNK и SBC па­рал­лель­ны.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки M до плос­ко­сти SBC.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

В тра­пе­ции ABCD точка E  — се­ре­ди­на ос­но­ва­ния AD, точка M  — се­ре­ди­на бо­ко­вой сто­ро­ны AB. От­рез­ки CE и DM пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O.

а)  До­ка­жи­те, что пло­ща­ди четырёхуголь­ни­ка AMOE и тре­уголь­ни­ка COD равны.

б)  Най­ди­те, какую часть от пло­ща­ди тра­пе­ции со­став­ля­ет пло­щадь четырёхуголь­ни­ка AMOE, если BC  =  3, AD  =  4.

В июле 2016 года пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на че­ты­ре года в раз­ме­ре S млн руб­лей, где S  — целое число. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

  — каж­дый ян­варь долг уве­ли­чи­ва­ет­ся на 15% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года;

  — с фев­ра­ля по июнь каж­до­го года не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

  — в июле каж­до­го года долг дол­жен со­став­лять часть кре­ди­та в со­от­вет­ствии со сле­ду­ю­щей таб­ли­цей.

Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние S, при ко­то­ром общая сумма вы­плат будет мень­ше 50 млн руб­лей.

Най­ди­те все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет ровно один ко­рень.

На доске на­пи­са­но 10 не­от­ри­ца­тель­ных чисел. За один ход сти­ра­ют­ся два числа, а вме­сто них за­пи­сы­ва­ет­ся сумма, округлённая до це­ло­го числа (на­при­мер, вме­сто 5,5 и 3 за­пи­сы­ва­ет­ся 9, а вме­сто 3,3 и 5 за­пи­сы­ва­ет­ся 8).

а)  При­ве­ди­те при­мер 10 не­це­лых чисел и по­сле­до­ва­тель­но­сти 9 ходов, после ко­то­рых на доске будет за­пи­са­но число, рав­ное сумме ис­ход­ных чисел.

б)  Может ли после 9 ходов на доске быть на­пи­са­но число, от­ли­ча­ю­ще­е­ся от суммы ис­ход­ных чисел на 7?

в)  На какое наи­боль­шее число могут от­ли­чать­ся числа, за­пи­сан­ные на доске после 9 ходов, вы­пол­нен­ных с одним и тем же на­бо­ром ис­ход­ных чисел в раз­лич­ном по­ряд­ке?