Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 19 № 673050
i

Сне­го­вик на­пи­сал ряд на­ту­раль­ных чисел от 1 до 2025. Затем он за­черк­нул каж­дое вто­рое число, на­чи­ная слева, а по­след­нее не­за­черк­ну­тое число пе­ре­нес в на­ча­ло ряда. Затем по­вто­рил опе­ра­цию: за­черк­нул каж­дое вто­рое число, на­чи­ная слева, а по­след­нее не­за­черк­ну­тое число пе­ре­нес в на­ча­ло ряда. И так далее до тех пор, пока не оста­нет­ся ровно два числа.

а)  Может ли после оче­ред­ной опе­ра­ции остать­ся 253 числа?

б)  Может ли после оче­ред­ной опе­ра­ции остать­ся 64 числа?

в)  Чему равна сумма по­след­них двух не­за­черк­ну­тых чисел?

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а, б)  Из 2025 чисел будут за­черк­ну­ты 1012 и оста­нет­ся 1013. Затем будут за­черк­ну­ты 506 и оста­нет­ся 507. Затем будут за­черк­ну­ты 253 и оста­нет­ся 254. Затем будут за­черк­ну­ты 127 и оста­нет­ся 127. Затем будут за­черк­ну­ты 63 и оста­нет­ся 64. После этого ко­ли­че­ство чисел будет па­дать вдвое каж­дую опе­ра­цию.

в)  За­ме­тим, что число, пе­ре­став­лен­ное впе­ред после пер­вой опе­ра­ции, ста­нет вто­рым чис­лом после вто­рой опе­ра­ции и будет вы­черк­ну­то на тре­тьей. Ана­ло­гич­но число, пе­ре­став­лен­ное впе­ред после вто­рой опе­ра­ции, будет вы­черк­ну­то на чет­вер­той и так далее. Зна­чит, после де­вя­той опе­ра­ции (когда оста­нет­ся 4 числа), эти числа будут та­ки­ми  — пе­ре­став­лен­ное после де­вя­той, пе­ре­став­лен­ное после вось­мой, еще какие-⁠то два числа. Сле­до­ва­тель­но, после де­ся­той опе­ра­ции оста­нут­ся пе­ре­став­лен­ное после де­вя­той и еще одно число. Их можно не пе­ре­став­лять, нас ин­те­ре­су­ет толь­ко их сумма. Вы­яс­ним, что это за числа.

После пер­вой опе­ра­ции оста­нут­ся толь­ко не­чет­ные числа. Вы­чтем из каж­до­го из них по 1 и по­де­лим на 2 (от этого из суммы двух чисел вы­чтет­ся 2, а потом она по­де­лит­ся на 2). По­лу­чат­ся числа 1012, 0, 1, 2, \ldots, 1011. Можно за­ме­нить 1012 на 0, по­сколь­ку оно все равно будет вы­черк­ну­то. Тогда при вто­рой опе­ра­ции по­лу­чат­ся числа 1011, 0, 1, 3, \ldots, 1009. Снова вы­чтем из каж­до­го из них по 1 и по­де­лим на 2, а пер­вые два числа за­ме­ним на что угод­но, по­сколь­ку они все равно будут вы­черк­ну­ты. По­лу­чим 0, 0, 0, 1, 2, \ldots, 504. Про­дол­жим де­лать ана­ло­гич­ные дей­ствия. Ино­гда (на­при­мер, после тре­тьей опе­ра­ции) будут по­лу­чать­ся чет­ные числа, тогда перед де­ле­ни­ем на 2 не нужно будет вы­чи­тать из них еди­ни­цу.

Итак, тре­тья опе­ра­ция:

0, 0, 0, 1, 2,\ldots, 504 arrow 0, 0, 2, 4, \ldots, 504 arrow 504, 0, 0, 2, 4, \ldots, 502 arrow 0, 0, 0, 1, 2, \ldots, 251.

Чет­вер­тая (без вы­чи­та­ния еди­ни­цы):

0, 0, 0, 1, 2, \ldots, 251 arrow 0, 0, 2, 4, \ldots, 250 arrow 250, 0, 0, 2, 4, \ldots, 248 arrow 0, 0, 0, 1, 2, \ldots, 124.

Пятая (без вы­чи­та­ния еди­ни­цы):

0, 0, 0, 1, 2, \ldots, 124 arrow 0, 0, 2, 4, \ldots, 124 arrow 124, 0, 0, 2, 4, \ldots, 122 arrow 0, 0, 0, 1, 2, \ldots, 61.

Ше­стая (без вы­чи­та­ния еди­ни­цы):

0, 0, 0, 1, 2, \ldots, 61 arrow 0, 0, 2, 4, \ldots, 60 arrow 60, 0, 0, 2, 4, \ldots, 58 arrow 0, 0, 0, 1, 2, \ldots, 29.

Седь­мая (без вы­чи­та­ния еди­ни­цы):

0, 0, 0, 1, 2, \ldots, 29 arrow 0, 0, 2, 4, \ldots, 28 arrow 28, 0, 0, 2, 4, \ldots, 26 arrow 0, 0, 0, 1, 2, \ldots, 13.

Вось­мая (без вы­чи­та­ния еди­ни­цы):

14, 0, 0, 1, 2, \ldots, 13 arrow 14, 0, 2, 4, \ldots, 12 arrow 12, 14, 0, 2, 4, \ldots, 10 arrow 6, 0, 0, 1, 2, 3, 4, 5.

Пре­кра­тим мо­ди­фи­ци­ро­вать числа. После де­вя­той опе­ра­ции по­лу­чим 4, 6, 0, 2, после де­ся­той по­лу­чим 0, 4. Итак, их сумма равна 4. Они были пять раз по­де­ле­ны на 2, зна­чит, до этого сумма была равна 128. До этого 2 умно­жить на 128 плюс 2 = 258, до этого 2 умно­жить на 258 плюс 2 = 518, до этого 2 умно­жить на 518 плюс 2 = 1038. Это и есть ответ.

 

Ответ: а)  нет; б)  да; в)  1038.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в пунк­тах а), б) и в).4
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те в) и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те а) или б).3
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в пунк­тах а) и б)

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те в)

2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те а) или б).1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл4
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 485
Классификатор алгебры: Чис­ло­вые на­бо­ры на кар­точ­ках и дос­ках
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026